Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S△ABC=15，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．

（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH．則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長(zhǎng)；
（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M，使△MBC中BC邊上的高為 ？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA：OB=1：5，OB=OC，

設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，

由S△ABC= AB×OC=15，得 ×6m×5m=15，解得m=1（舍去負(fù)值），

∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a=1，

∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣5），

即y=x2﹣4x﹣5

（2）

解：設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n2﹣4n﹣5），拋物線對(duì)稱軸為x=2，

由2（n﹣2）=EF，得2（n﹣2）=﹣（n2﹣4n﹣5）或2（n﹣2）=n2﹣4n﹣5，

解得n=1± 或n=3± ，

∵n＞0，

∴n=1+ 或n=3+ ，

邊長(zhǎng)EF=2（n﹣2）=2 ﹣2或2 +2

（3）

解：存在．

由（1）可知OB=OC=5，

∴△OBC為等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，﹣5），

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，將B與C代入得： ，

解得： ，

則直線BC解析式為y=x﹣5，

依題意△MBC中BC邊上的高為 ，

∴直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7 ，

聯(lián)立 ， ，

解得 或 ，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，7），（7，16）．

【解析】（1）由已知設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC= AB×OC=15，可求m的值，確定A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線交點(diǎn)式，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；（2）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2﹣4m﹣5），拋物線對(duì)稱軸為x=2，根據(jù)2|m﹣2|=EF，列方程求解；（3）存在．因?yàn)镺B=OC=5，△OBC為等腰直角三角形，直線BC解析式為y=x﹣5，則直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7 ，將直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，求M點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�