Question

8．如圖，直線l與⊙O相切于點A，AC為⊙O的直徑，AC=8，P是直徑AC右側(cè)半圓上的一個動點（不與點A、C重合），過點P作PB⊥l，垂足為B，連接PA、PC．設(shè)PA=x，PB=y．求：
（1）△APC與△APB相似嗎？為什么？
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式； 
（3）當(dāng)x為何值時，x-y取得最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)進(jìn)而得出∠CAP=∠APB以及∠PBA=∠APC=90°，即可得出答案；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）由$\frac{1}{8}$x²代替y，化為關(guān)于x的二次三項式，配方即可求得答案．

解答 解：（1）△APC∽△APB，
證明：∵⊙O與直線l相切于點A，且AB為⊙O的直徑，
∴CA⊥l，∠CPA=90°，
又∵PB⊥l，
∴CA∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
又∵PB⊥l，
∴∠APB=90°，
∴∠CAP=∠ABP，
∴△APC∽△APB；

（2）∵△APC∽△APB，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{AP}$，
∴$\frac{x}{y}=\frac{8}{x}$．
∴y=$\frac{1}{8}$x²（0＜x＜8）；

（3）x-y=x-$\frac{1}{8}{x}^{2}$=-（$\frac{1}{8}$（x-4）²+2，
∴當(dāng)x為4時，x-y取得最大值，最大值為2．

點評 此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，求出∠CAP=∠APB是解題關(guān)鍵．