Question

18．（1）如圖1，AB∥CD，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，請說明∠E=90°的理由．
（2）如圖2，AB∥CD，∠E=90°保持不變，使∠MCE=∠ECD，請直接寫出∠BAE與∠MCD的數(shù)量關系∠BAE+$\frac{1}{2}$∠MCD=90°
（3）如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點，點Q為直線CD上一動點，（點C除外）問：
∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關系？∠CPQ+∠CQP=∠BAC（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得∠BAC+∠ACD=180°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EAC+∠ECA=90°，然后求出∠E=90°；
（2）設延長AE交DG于點F，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAE=∠AFC，結(jié)合直角的知識可得∠AFC+∠ECD=90°．再結(jié)合∠MCE=∠ECD得到結(jié)論；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC+∠DCP=180°，再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180°即可得到結(jié)論．

解答 解（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠EAC+∠ECA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACD）=90°，
∴∠E=90°；
（2）∠BAE+$\frac{1}{2}$∠MCD=90°，
證明：∵延長AE交DG于點F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠AFC．
∵∠AEC=90°，
∴∠CEF=90°，
∴∠AFC+∠ECD=90°．
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+$\frac{1}{2}$∠MCD=90°，
故答案為∠BAE+$\frac{1}{2}$∠MCD=90°；
（3）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCP=180°，
∵∠CPQ+∠CQP+∠DCP=180°，
∴∠CPQ+∠CQP=∠BAC．

點評 本題考查的是平行線的性質(zhì)以及垂線的知識，解題要掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，根據(jù)題意作出輔助線是解答（2）題的關鍵．