Question

18．閱讀材料后解決問題：
小明遇到下面一個(gè)問題：
計(jì)算（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）．
經(jīng)過觀察，小明發(fā)現(xiàn)如果將原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏罂梢猿霈F(xiàn)特殊的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而可以應(yīng)用平方差公式解決問題，具體解法如下：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）
=（2+1）（2-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）
=（2⁸-1）（2⁸+1）
=2¹⁶-1
請(qǐng)你根據(jù)小明解決問題的方法，試著解決以下的問題：
（1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）=2³²-1．
（2）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）=$\frac{{{3^{32}}-1}}{2}$．
（3）化簡：（m+n）（m²+n²）（m⁴+n⁴）（m⁸+n⁸）（m¹⁶+n¹⁶）．

Answer 1

分析 （1）原式變形后，利用題中的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）原式變形后，利用題中的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）分m=n與m≠n兩種情況，化簡得到結(jié)果即可．

解答 解：（1）原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）=2³²-1；
故答案為：2³²-1
（2）原式=$\frac{1}{2}$（3-1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）=$\frac{{{3^{32}}-1}}{2}$；
故答案為：$\frac{{3}^{32}-1}{2}$；
（3）（m+n）（m²+n²）（m⁴+n⁴）（m⁸+n⁸）（m¹⁶+n¹⁶）．
當(dāng)m≠n時(shí)，原式=$\frac{1}{m-n}$（m-n）（m+n）（m²+n²）（m⁴+n⁴）（m⁸+n⁸）（m¹⁶+n¹⁶）=$\frac{{{m^{32}}-{n^{32}}}}{m-n}$；
當(dāng)m=n時(shí)，原式=2m•2m²…2m¹⁶=32m³¹．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平方差公式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．