Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q分別從點(diǎn)B、A同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）用含t的式子表示線段AP、AQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是以PQ為底邊的等腰三角形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？

Answer 1

分析 （1）由題意，可知∠B=30°，AC=6cm．BP=2t，AP=AB-BP，AQ=t．
（2）若△APQ是以PQ為底的等腰三角形，則有AP=AQ，即12-2t=t，求出t即可．
（3）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠QPA的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°．
又∵AB=12cm，
∴AC=6cm，BP=2t，AP=AB-BP=12-2t，AQ=t；

（2）∵△APQ是以PQ為底的等腰三角形，
∴AP=AQ，即12-2t=t，
∴當(dāng)t=4時(shí)，△APQ是以PQ為底邊的等腰三角形；

（3）當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，PQ∥BC．
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA=30°
∴AQ=$\frac{1}{2}$AP，
∴t=$\frac{1}{2}$（12-2t），解得t=3，
∴當(dāng)t=3時(shí)，PQ∥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等腰三角形的判定及平行線的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題的關(guān)鍵．