Question

【題目】在等邊△AOB中，將扇形COD按圖1擺放，使扇形的半徑OC、OD分別與OA、OB重合，OA=OB=2，OC=OD=1，固定等邊△AOB不動(dòng)，讓扇形COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段AC、BD也隨之變化，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．（0＜α≤360°）
（1）當(dāng)OC∥AB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α=度；
（2）線段AC與BD有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)僅就圖2給出證明．
（3）當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，求BD的長(zhǎng)．
（4）P是線段AB上任意一點(diǎn)，在扇形COD的旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出線段PC的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）60或240
（2）解：結(jié)論：AC=BD，理由如下：

如圖2中，

∵∠COD=∠AOB=60°，

∴∠COA=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD

（3）解：①如圖3中，當(dāng)A、C、D共線時(shí)，作OH⊥AC于H．

在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，

∴CH=HD= ，OH= ，

在Rt△AOH中，

AH= = ，

∴BD=AC=CH+AH= ．

如圖4中，當(dāng)A、C、D共線時(shí)，作OH⊥AC于H．

易知AC=BD=AH﹣CH= ，

綜上所述，當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，BD的長(zhǎng)為 或

（4）解：如圖5中，由題意，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，1為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，直線OH交⊙O于C′、C″，線段CB的長(zhǎng)即為PC的最大值，線段C″H的長(zhǎng)即為PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值= ﹣1．

【解析】解：（1）如圖1中，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴當(dāng)點(diǎn)D在線段AD和線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC∥AB，
此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α=60°或240°．
所以答案是60或240；