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4.△ABC中,∠A=90°,點D在線段BC上(端點B除外),∠EDB=12∠C,BE⊥DE于點E,DE與AB相交于點F,過F作FM∥AC交BD于M.

(1)當AB=AC時(如圖1),求證:①FM=MD;②FD=2BE;
(2)當AB=kAC時(k>0,如圖2),用含k的式子表示線段FD與BE之間的數(shù)量關系,并說明理由.

分析 (1)①利用等腰直角三角形得出結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠DMF=∠MFD,進而得出答案;
②根據(jù)題意證明△BEF∽△DEB,然后利用相似三角形的性質(zhì),得到BE與FD的數(shù)量關系;
(2)首先證明△GBN∽△FDN,利用三角形相似的性質(zhì)得到BE與FD的數(shù)量關系.

解答 (1)證明:①如圖1,∵AB=AC,∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=12∠C
∴∠EDB=22.5°
∵FM∥AC,
∴∠FMB=45°,
∴∠MFD=22.5°,
∴∠DMF=∠MFD,
∴MF=MD;

②在△BEF和△DEB中
∵∠E=∠E=90°
∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如圖1:作BG平分∠ABC,交DE于G點,
∴BG=GD,△BEG是等腰直角三角形
設EF=x,BE=y,
則:BG=GD=2y,
FD=2y+y-x,
∵△BEF∽△DEB
xy=yy+2y,
得:x=(2-1)y,
∴FD=2BE;

(2)解:過點D作DG∥AC,交BE的延長線于點G,與BA交于點N,
∵DG∥AC,
∴∠GDB=∠C,
∵∠EDB=12∠C,
∴∠EDB=∠GDE,
∵BE⊥DE,
∴∠BED=∠DEG,
在△DEG和△DEB中
{EDG=EDBDE=DEGED=BED
∴△DEG≌△DEB(ASA),
∴BE=12GB,∠BND=∠GNB=90°,∠EBF=∠NDF,
∴△GBN∽△FDN,
GBFD=NBND,即BEFD=BN2DN,
又∵DG∥AC,
∴△BND∽△BAC,
BNAB=DNAC
BNDN=ABAC=k,
BEFD=k2,
∴FD=2kBE.

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)進行判定和計算.(2)結(jié)合圖形利用三角函數(shù)和相似三角形進行計算求出線段間的關系.

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