Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C，B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動，當(dāng)CM=MN，且∠CMN=90°時，求此時△CMN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，得 解得： ，

∴拋物線表達(dá)式為：y=﹣x2+4x

（2）

解：拋物線對稱軸為x=﹣ =2．

∵點(diǎn)C，B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3）．

∴BC=2，

∴S△ABC= ×2×3=3

（3）

解：過P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D．

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+4m），

根據(jù)題意得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，即6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m）．

整理得：3m2﹣15m=0，

解得：m1=0（舍去），m2=5，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，﹣5）

（4）

解：當(dāng)CM=MN，且∠CMN=90°時，分情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時，如圖2所示：

∵∠CMN=90°，

∴∠BMC+∠NMH=90°．

又∵∠BMC+∠BCM=90°，

∴∠NMH=∠BCM．

在△BCM和△HMN中 ，

∴△CBM≌△MHN．

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0），

由勾股定理得：MC= = ，

∴S△CMN= × × = ．

②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時，如圖3所示：構(gòu)造直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC

∵∠NMC=90°，

∴∠NME+∠CMD=90°．

∵∠ENM+∠EMN=90°，

∴∠CMD=∠ENM．

在Rt△NEM和Rt△MDC中

∴Rt△NEM≌Rt△MDC．

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM= = ，

∴S△CMN= × × = ；

綜上所述：△CMN的面積為： 或

【解析】（1）把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式；（2）先求得拋物線對稱軸為x=2，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到BC的長，然后依據(jù)三角形的面積公式求解即可（3）過P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+4m），則BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，然后依據(jù)S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD ， 列出關(guān)于m的方程，從而可求得m的值于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時，先證明三角形△CBM≌△MHN，從而可求得BC=MH=2，BM=1，于是可得到點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，然后依據(jù)勾股定理求得MC的長，最后依據(jù)三角形的面積公式求解即可；②如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時，過點(diǎn)M作平行與x軸的直線，然后分別過點(diǎn)N和點(diǎn)C作x軸的垂線，從而可構(gòu)造出直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC，接下來，再證明Rt△NEM≌Rt△MDC，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到EM=CD=5，MD=ME=2，然后依據(jù)勾股定理可求得CM的長，最后依據(jù)三角形的面積公式求解即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．