Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分別是邊AC、AB的中點，過點C作CE∥AB交DO的延長線于點E，連接AE．

（1）求證：四邊形AECD是菱形；

（2）若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC=，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=6．

【解析】（1）由ASA證明△AOD≌△COE，得出對應邊相等AD=CE，證出四邊形AECD是平行四邊形，即可得出四邊形AECD是菱形；

（2）由菱形的性質得出AC⊥ED，再利用三角函數(shù)解答即可．

（1）∵點O是AC中點，

∴OA=OC，

∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

在△AOD和△COE中，

，

∴△AOD≌△COE（ASA），

∴AD=CE，

∵CE∥AB，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

又∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

∴CD=AD，

∴四邊形AECD是菱形；

（2）由（1）知，四邊形AECD是菱形，

∴AC⊥ED，

在Rt△AOD中，tan∠DAO==tan∠BAC=，

設OD=3x，OA=4x，

則ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由題意可得：=24，

解得：x=1，

∴OD=3，

∵O，D分別是AC，AB的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴BC=2OD=6．