Question

14．已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）交x軸于A（1，0）和B （-3，0），交y軸于C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D是拋物線的頂點(diǎn)，P為拋物線上的一點(diǎn)（不與D重合），當(dāng)S_△PAB=S_△ABD時(shí)，求P的坐標(biāo)；
（3）若F是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在F、Q，使以B、C、F、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A和B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得到關(guān)于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解集得到a與b的值，進(jìn)而確定出拋物線的解析式；
（2）由S_△PAB=S_△ABD，根據(jù)三角形面積公式可得點(diǎn)P到線段AB的距離一定等于頂點(diǎn)D到AB的距離，而D的坐標(biāo)為（-1，4），所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)一定為-4．將y=-4代入（1）中所求解析式，得到x²-2x-3=4，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定，可得BF與CQ的關(guān)系，根據(jù)數(shù)軸上到一點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，可得答案．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0）代入拋物線解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0①}\\{9a-3b+3=0②}\end{array}\right.$，
①×3+②得：12a+12=0，解得：a=-1，
把a(bǔ)=-1代入①得：-1+b+3=0，解得：b=-2，
∴方程組的解集為$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
則所求拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=-x²-2x+3，即y=-（x+1）²+4，
則D（-1，4），
∵S_△PAB=S_△ABD，且點(diǎn)P在拋物線上，
∴點(diǎn)P到線段AB的距離一定等于頂點(diǎn)D到AB的距離，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)一定為-4．
令y=-4，則-x²-2x+3=-4，
解得x₁=-1+2$\sqrt{2}$，x₂=-1-2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1+2$\sqrt{2}$，-4）或（-1-2$\sqrt{2}$，-4）．

（3）存在，理由如下：
如圖：由拋物線解析式為y=-x²-2x+3得到：C（0，3）

由BFCQ是平行四邊形，得
BF∥CQ，BF=CQ．
C（0，3）得Q的縱坐標(biāo)時(shí)3，即-x²-2x+3=3，
解得x=0或x=-2，即Q（-2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定：對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．