Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點D的坐標(biāo)為（1，﹣），且與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，A點的坐標(biāo)為（4，0）．P點是拋物線上的一個動點，且橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式．

（2）若動點P滿足∠PAO不大于45°，求P點的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

（3）是否存在P點，使∠PAC=∠BCO？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線為y=（x﹣1）2﹣；

（2）﹣4≤m≤0；

（3）存在，當(dāng)點P坐標(biāo)（﹣1，﹣）或（﹣3，）時，∠PAC=∠BCO．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線為y=a（x﹣1）2﹣，把點（4，0）代入即可解決問題．

（2）如圖1中，求出∠PAO=45°時點P的坐標(biāo)，由此即可解決問題．

（3）存在．如圖2中，∠P1AO=∠BCO，設(shè)AP1交y軸于E，理由相似三角形求出OE的長，再求出直線CE與拋物線的交點即可解決問題，根據(jù)對稱性再求出P2坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）設(shè)拋物線為y=a（x﹣1）2﹣，

∵拋物線經(jīng)過點（4，0），

∴0=9a﹣，

∴a=，

∴拋物線為y=（x﹣1）2﹣．

（2）∵y=（x﹣1）2﹣．

令x=0，則y=﹣4，∴點C坐標(biāo)（0，﹣4），

令y=0，（x﹣1）2=9，解得x=﹣2或4，

∴點B坐標(biāo)（﹣2，0），點A坐標(biāo)（4，0）．

∴OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

如圖1中，過點A作直線AP1⊥AC，交拋物線于P1，

∵直線AC為y=x﹣4，

∴直線AP1為y=﹣x+4，

由，解得或，

∴點P1坐標(biāo)（﹣4，8），

∴當(dāng)點P在P1與C之間時，∠PAO不大于45°，

∴﹣4≤m≤0．

（3）存在．

理由：如圖2中，∠P1AO=∠BCO，設(shè)AP1交y軸于E，

∵△BCO∽△EAO，

∴，

∴，

∴EO=2，

∴點E坐標(biāo)（0，2），

∴直線AE為y=﹣x+2，

由解得或，

∴p1（﹣3，）．

根據(jù)對稱性∠P2AO=∠BCO時，設(shè)AP2交y軸于F，則點F坐標(biāo)（0，﹣2），

∴直線AF為y=x﹣2，

由解得或，

∴點P2（﹣1，﹣）．

∴當(dāng)點P坐標(biāo)（﹣1，﹣）或（﹣3，）時，∠PAC=∠BCO．