Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求二次函數(shù)的解析式及其對(duì)稱軸；

（2）若點(diǎn)E是線段BC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為F，且EF=2EC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，當(dāng)∠APC不小于60°時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），對(duì)稱軸為：直線；（2）；（3）0≤t≤2．

【解析】

（1）將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到二次函數(shù)解析式中進(jìn)行求解；

（2）有多種方法進(jìn)行求解，如根據(jù)△BFF∽△BCO，求出EF的長(zhǎng)度，即求出E點(diǎn)縱坐標(biāo)，將E點(diǎn)縱坐標(biāo)代入到BC直線解析式后，求出其橫坐標(biāo)即可得到E點(diǎn)坐標(biāo).

(3)引入圓，分點(diǎn)圓上，內(nèi)，外進(jìn)行分析.

（1）將A(，0)，B(，0)代入得

解得，∴

對(duì)稱軸為：直線．

（2）如圖所示．

∵CO⊥x軸，EF⊥x軸，

∴CO//EF.

∴△BEF∽△BCO.

∴.

設(shè)EC=m，則EF=2m.

由B(，0)，C(0，3)得BC=.

∴．

解得.

∴．

又由得，∴OF==．

∴

解法二：由B(，0)，C(0，3)得BC=，∴∠OBC=30，

設(shè)EC=m，則EF=2m，EB=6－m.

∴，解得.

∴.

利用三角函數(shù)求得BF=EF÷tan 30°=，∴OF==

∴

解法三：求出后，即E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

由B(，0)，C(0，3)得直線BC解析式為，

將yE=代入得xE=，∴(解法二、解法三參考解法一相應(yīng)步驟給分)

（3）如圖2，由題意知∠CAO=60

作∠CAO的平分線AQ，交y軸于Q

則∠QAC=∠QCA=30

∴∠AQC=120

以Q為圓心，QA為半徑作圓，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)M1，M2

當(dāng)點(diǎn)M在圓上時(shí)，則∠AM1C=∠AM2C=∠AQC=60．

當(dāng)點(diǎn)M在圓內(nèi)時(shí)，∠AMC＞60，

當(dāng)點(diǎn)M在圓外時(shí)，∠AMC＜60，

過(guò)Q作QH垂直于對(duì)稱軸．在Rt△AOQ中，求得AQ=2，

在Rt△M1QH中，M1H=

∴M1D=1+1=2，M2D=1－1=0

∴0≤t≤2．