Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）設(shè)BP=x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)△PCQ的面積最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）作AE⊥BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，
∴BE=（BC-AD）÷2=2.5，
∵∠B=45°，
∴AB=

5 2

2

；

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B=∠C=45°，則△CQF是等腰直角三角形．
∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，BP=x，
∴BP=CQ=x，
∵BC=9，
∴CP=9-x，QF=

2

2

x，
設(shè)△PQC的面積為y，
∴y=（9-x）•

2

2

x•

1

2

，
即y=-

2

4

x2+

9 2

4

x=-

2

4

(x-

9

2

)2+

81 2

16

，
∵AB=

5 2

2

，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．BP=x，
∴0＜x≤

5 2

2

＜

9

2

，
∴當(dāng)x=

5 2

2

時(shí)，△PQC的面積最大，最大值為：
y=

1

2

PC•QF=

1

2

（9-

5

2

2

）×

5

2

=

45

4

-

25 2

8

；

（3）不存在，
若存在，則PC=QC，
∴9-x=x，
∴x=

9

2

，
而

9

2

＞

5

2

2

，
∴邊AB上不存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形．