【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C.直線y=x+3經過點A、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P是拋物線上一動點,過P作PM∥y軸交直線AC于點M,設點P的橫坐標為t.
①若以點C、O、M、P為頂點的四邊形是平行四邊形,求t的值.
②當射線MP,AC,MO中一條射線平分另外兩條射線的夾角時,直接寫出t的值.
【答案】(1);(2)①滿足條件的t的值為2或﹣2+2或﹣2﹣2;②綜合以上可得t的值為
【解析】
(1)先根據(jù)直線解析式求出A、C兩點的坐標,把點A和C點的坐標代入y=-x2+bx+c得關于b和c的方程組,然后解方程組即可得到拋物線解析式;
(2)當OC∥PM,且OC=PM時,以點C、O、M、P為頂點的四邊形是平行四邊形,可得關于t的方程,解方程即可;
(3)分三種情況考慮,當MP平分AC、MO的夾角,當AC平分MP、MO的夾角,當MO平分AC、MP的夾角,可由圖形的性質得關于t的方程求解.
(1)在y=x+3中,令x=0,y=3;令y=0,x=﹣4,得A(﹣4,0),C(0,3),
代入拋物線y=-x2+bx+c解析式得:,
∴拋物線的解析式;
(2)設P(t,),
∵四邊形OCMP為平行四邊形,
∴PM=OC=3,PM∥OC,
∴M點的坐標可表示為(t,t+3),
∴PM=,
∴|=3,
當﹣t2﹣3t=3,解得t=2,
當﹣t2﹣3t=﹣3,解得t1=﹣2+2,t2=﹣2﹣2,
綜上所述,滿足條件的t的值為2或﹣2+2或﹣2﹣2;
(3)如圖1,
若當MP平分AC、MO的夾角,
則∠AMN=∠OMN,
∵PN⊥OA,
∴AN=ON,
∴t的值為﹣2;
如圖2,
若AC平分MP、MO的夾角,過點C作CH⊥OA,CG⊥MP,
則CG=CH,
∵,
∴OM=OC=3,
∵點M在直線AC上,
∴M(t,t+3),
∴MN2+ON2=OM2,可得,,
解得t=﹣,
如圖3,
若MO平分AC、MP的夾角,則可得∠NMO=∠OMC,過點O作OK⊥AC,
∴OK=ON,
∵∠AKO=∠AOC=90°,∠OAK=OAC,
∴△AOK∽△ACO,
∴,
∴,
∴OK=,
∴t=﹣,
綜合以上可得t的值為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點落在邊AD上的E處,折痕為PQ,過點E作EF∥AB交PQ于F,連接BF.
(1)求證:四邊形BFEP為菱形;
(2)當點E在AD邊上移動時,折痕的端點P、Q也隨之移動;
①當點Q與點C重合時(如圖2),求菱形BFEP的邊長;
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動,求出點E在邊AD上移動的最大距離.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,雙曲線y=(x>0)經過△OAB的頂點A和OB的中點C,AB∥x軸,點A的坐標為(2,3),BE⊥x軸,垂足為E.
(1)確定k的值;
(2)若點D(3,m)在雙曲線上,求直線AD的解析式;
(3)計算△OAB的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年3月19日,河南省教育廳發(fā)布《關于推進中小學生研學旅行的實施方案》,某中學為落實方案,給學生提供了以下五種主題式研學線路:A.“紅色河南”,B.“厚重河南”C.“出彩河南”,D.“生態(tài)河南”,E.“老家河南”為了解學生最喜歡哪一種研學線路(每人只選取一種),隨機抽取了部分學生進行調查,將調查結果繪制成如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.根據(jù)以上信息解答下列問題:
調查結果統(tǒng)計表
主題 | 人數(shù)/人 | 百分比 |
A | 75 | n% |
B | m | 30% |
C | 45 | 15% |
D | 60 | |
E | 30 |
(1)本次接受調查的總人數(shù)為 人,統(tǒng)計表中m= ,n= .
(2)補全條形統(tǒng)計圖.
(3)若把條形統(tǒng)計圖改為扇形統(tǒng)計圖,則“生態(tài)河南”主題線路所在扇形的圓心角度是 .
(4)若該實驗中學共有學生3000人,請據(jù)此估計該校最喜歡“老家河南”主題線路的學生有多少人.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場計劃購進A,B兩種型號的手機,已知每部A型號手機的進價比每部B型號手機進價多500元,每部A型號手機的售價是2500元,每部B型號手機的售價是2100元.
(1)若商場用50000元共購進A型號手機10部,B型號手機20部,求A、B兩種型號的手機每部進價各是多少元?
(2)為了滿足市場需求,商場決定用不超過7.5萬元采購A、B兩種型號的手機共40部,且A型號手機的數(shù)量不少于B型號手機數(shù)量的2倍.
①該商場有哪幾種進貨方式?
②該商場選擇哪種進貨方式,獲得的利潤最大?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】大唐芙蓉園是中國第一個全方位展示盛唐風貌的大型皇家園林式文化主題公園,全園標志性建筑一紫云樓為代表,展示了“形神升騰紫云景,天下臣服帝王心”的唐代帝王風范(如圖①).小風和小花等同學想用一些測量工具和所學的幾何知識測量“紫云樓”的高度,來檢驗自己掌握知識和運用知識的能力,他們經過研究需要兩次測量:首先,在陽光下,小風在紫云樓影子的末端C點處豎立一根標桿CD,此時,小花測得標桿CD的影長CE=2米,CD=2米;然后,小風從C點沿BC方向走了5.4米,到達G處,在G處豎立標桿FG,接著沿BG后退到點M處時,恰好看見紫云樓頂端A,標桿頂端F在一條直線上,此時,小花測得CM=0.6米,小風的眼睛到地面的距離HM=1.5米,FG=2米.
如圖②,已知AB⊥BM,CD⊥BM,FG⊥BM,HM⊥BM,請你根據(jù)題中提供的相關信息,求出紫云樓的高AB.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線y=ax2﹣4ax﹣交x軸正半軸于點A(5,0),交y軸于點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點P為第一象限內拋物線上一點,連接AP,將射線AP繞點A逆時針旋轉60°,與過點P且垂直于AP的直線交于點C,設點P橫坐標為t,點C的橫坐標為m,求m與t之間的函數(shù)關系式(不要求寫出t的取值范圍);
(3)如圖2,在(2)的條件下,過點C作直線交x軸于點D,在x軸上取點F,連接FP,點E為AC的中點,連接ED,若F的橫坐標為-,∠AFP=∠CDE,且∠FAP+∠ACD=180°,求m的值.
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