Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)B點(diǎn)作BF∥AC，過(guò)C點(diǎn)作CF∥BD，BF與CF相交于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形BFCO是菱形；

（2）連接OF、DF，若AB＝2，tan∠OFD＝，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）先證明四邊形OBFC是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可知OB＝OC，從而得證．

（2）連接FO并延長(zhǎng)交AD于H，交BC于K，根據(jù)矩形、菱形的判定與性質(zhì)可求出AB與BC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理可求出AC的值．

解：（1）∵BF∥AC，CF∥BD，

∴四邊形OBFC是平行四邊形，

∵矩形ABCD，

∴

∴OB＝OC，

∴四邊形OBFC是菱形．

（2）如圖，連接FO并延長(zhǎng)交AD于H，交BC于K，

∵菱形OBFC，

∴∠BKO＝90°，

∵矩形ABCD，

∴∠DAB＝∠ABC＝90°，OA＝OD，

∴四邊形ABKH是矩形，

∴∠DHF＝90°，HK＝AB＝2，

∴H是AD中點(diǎn)，

∵O是BD中點(diǎn)，

∴OH＝，

∴FK＝OK＝OH＝1，

∴HF＝3，

∵tan∠OFD＝，

∴HD＝AH＝2，

∴BC＝AD＝4，

由勾股定理得：．