Question

已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，BP=OB=2，點(diǎn)Q在⊙O上，連接PQ．

（1）如圖①，線段PQ所在的直線與⊙O相切，求線段PQ的長(zhǎng)；

（2）如圖②，線段PQ與⊙O還有一個(gè)公共點(diǎn)C，且PC=CQ，連接OQ，AC交于點(diǎn)D．

①判斷OQ與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②求線段PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）如圖①，連接OQ．

∵線段PQ所在的直線與⊙O相切，點(diǎn)Q在⊙O上，

∴OQ⊥OP．

又∵BP=OB=OQ=2，

∴PQ===2，即PQ=2；

（2）OQ⊥AC．理由如下：

如圖②，連接BC．

∵BP=OB，

∴點(diǎn)B是OP的中點(diǎn)，

又∵PC=CQ，

∴點(diǎn)C是PQ的中點(diǎn)，

∴BC是△PQO的中位線，

∴BC∥OQ．

又∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴OQ⊥AC．

（3）如圖②，PC•PQ=PB•PA，即PQ²=2×6，

解得PQ=2．