Question

如圖，已知一次函數(shù)y =  -  x +7與正比例函數(shù)y  =   x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B.

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥y軸．動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度沿x軸向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？

②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （2011江蘇鹽城第28題改編）

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得，解得 ，∴A(3，4) . …………………2分

令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）. …………………………2分

（2）①當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4.

由S_△APR=S_梯形COBA-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，得

(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8

整理,得t²-8t+12=0,  解之得t₁=2,t₂=6（舍）  …………………………2分

當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)，4≤t＜7.

由S_△APR= ×(7-t) ×4=8，得t=3（舍）…………………………2分

∴當(dāng)t=2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8.

 ②當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4.

∴AP=，AQ=t，PQ=7-t

當(dāng)AP =AQ時(shí)， （4-t）²+3²=2(4-t)²,

整理得，t²-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)

當(dāng)AP=PQ時(shí)，（4-t）²+3²=(7-t)²,

整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)

當(dāng)AQ=PQ時(shí)，2（4-t）²=(7-t)²

整理得，t²-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)

當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4≤t＜7. 過(guò)A作AD⊥OB于D,則AD=BD=4.

設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.

由cos∠OAC=  = ，得AQ = (t-4)．

當(dāng)AP=AQ時(shí)，7-t = (t-4)，解得t = . 

當(dāng)AQ=PQ時(shí)，AE＝PE，即AE= AP

得t-4= (7-t)，解得t =5.

當(dāng)AP=PQ時(shí)，過(guò)P作PF⊥AQ于F

AF= AQ = ×(t-4).

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝  ＝ ，得AF＝ AP

即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= .

∴綜上所述，t=1或 或5或  時(shí)，△APQ是等腰三角形. …………………4個(gè)答案各1分