Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，若將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到△FEC
（1）猜想AE與BF有何關(guān)系，說(shuō)明理由．
（2）若△ABC的面積為3cm²，求四邊形ABFE的面積．
（3）當(dāng)∠ACB為多少度時(shí)，四邊形ABFE為矩形？

Answer 1

分析 （1）由△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°可知：AC=CF，BC=CE，四邊形ABFE為平行四邊形，于是得到結(jié)論；
（2）由于AC是△ABE的BE邊上中線，于是得到S_△ABE=2S_△ABC=6，同理S_△BEF=2S_△CEF=6，即可得到結(jié)論；
（3）要判斷四邊形ABFE為矩形，從對(duì)角線來(lái)看，要求AF=BE，又AF與BE互相平分，只需要AC=BC，而AB=AC，故△ABC為等邊三角形，∠ACB=60°．

解答 解：（1）AE∥BF，AE=BF．
理由是：∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△FEC，
∴△ABC≌△FEC，
∴AB=FE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），
∠ABC=∠FEC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），
∴AB∥FE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴四邊形ABFE為平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∴AE∥BF，AE=BF（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）；

（2）由（1）得四邊形ABFE為平行四邊形，
∴AC=CF，BC=CE，
∴根據(jù)等底同高得到S_△ABC=S_△ACE=S_△BCF=S_△CEF=3，
S_{四邊形ABFE}=4S_△ABC=12cm²；

（3）當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，四邊形ABFE為矩形．
理由是：AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠BAC=60°，
∴∠ACE=120°．
又BC=CE，AC=CF，
∴∠EAC=∠CEA=30°，
∴∠BAE=90°，同理可證其余三個(gè)角也為直角．
∴四邊形ABFE為矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形和矩形的判定方法，以及平行四邊形和矩形的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)--旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．