Question

16．如圖，P為正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，（P點(diǎn)與A不重合），連結(jié)PD，
（1）試判斷△ABP與△ADP是否全等，并說(shuō)明理由；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BP交邊DC于E點(diǎn)，若過(guò)P點(diǎn)作AD的平行線交DE于F點(diǎn)，試探究PF是否平分DE，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形得到AB=AD，∠BAC=∠DAC，由SAS證明△ABP≌△ADP即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得到PB=PD，∠PBC=∠PDC，再證明∠PDC=∠PED，等角對(duì)等邊得到PE=PD，再由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）△ABP≌△ADP；理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°．
在△ABP和△ADP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAP=∠DAP}&{\;}\\{AP=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（SAS）．
（2）PF平分DE，理由如下：
由（1）得：△ABP≌△ADP，
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCF=90°，
∵∠BPE=∠BCF，
∴∠BPE=90°，
∵四邊形PBCE的內(nèi)角和為360°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∵∠PED+∠PEC=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PDC=∠PED，
∴PE=PD，
∵PF∥AD，AD⊥CD，
∴PF⊥DE，
∴PF平分DE．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．