Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，E是邊BC的中點(diǎn)，連接EF。

（1）求證：2EF=CD；

（2）當(dāng)EF與BC滿足_____時(shí)，四邊形ABCD是矩形；

（3）當(dāng)EF與BC滿足_____時(shí)，四邊形ABCD是菱形，并證明你的結(jié)論；

（4）當(dāng)EF與BC滿足_____時(shí)，四邊形ABCD是正方形。

 

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）EF⊥BC；（3）BC=2EF，（4）EF⊥BC且BC=2EF．

【解析】

試題分析：（1）利用三角形中位線定理以及其性質(zhì)判斷得出即可；

（2）利用矩形的判定方法得出即可；

（3）利用菱形的判定方法得出即可；

（4）利用正方形的判定方法得出即可．

試題解析：（1）證明：∵平行四邊形ABCD，

∴點(diǎn)F為AC，BD的中點(diǎn)，

又∵E是BC的中點(diǎn)，

∴EF為△DBC的中位線，

∴2EF=CD；

（2）EF⊥BC；

理由：∵EF為△DBC的中位線，EF⊥BC，

∴∠ABC=90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形；

（3）BC=2EF，

理由：∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且BC=2EF

∴EF=BE=EC，

∴∠EBF=∠BFE，∠EFC=∠ECF

又∵∠EBF+∠BFE+∠EFC+∠ECF=180°

∴∠BFC=∠BFE+∠EFC=90°，

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（4）EF⊥BC且BC=2EF．

理由：由（2）（3）可得：

當(dāng)EF與BC滿足EF⊥BC且BC=2EF時(shí)，四邊形ABCD是正方形．

考點(diǎn)：1.正方形的判定；2.三角形中位線定理；3.平行四邊形的性質(zhì)；4.菱形的判定；5.矩形的判定．