【題目】等邊三角形的邊長為,點從點出發(fā)沿向運動,點從出發(fā)沿的延長線向右運動,已知點都以每秒的速度同時開始運動,運動過程中與相交于點.
(1)運動幾秒后,為直角三角形?
(2)求證:在運動過程中,點始終為線段的中點.
【答案】(1) (2)見解析
【解析】
(1)設(shè)x秒時,△ADE為直角三角形,則CD=0.5x,BE=0.5x,AD=40.5x,AE=4+0.5x,根據(jù)30°的直角邊=斜邊的一般建立方程求出其解即可;
(2)作DG∥AB交BC于點E,證明△DGP≌△EBP,就可以得出PD=PE.
(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC=4cm,∠A=∠ABC=∠C=60°.
設(shè)x秒時,△ADE為直角三角形,
∴∠ADE=90°,CD=0.5x,BE=0.5x,AD=40.5x,AE=4+0.5x,
∴∠AED=30°,
∴AE=2AD,
∴4+0.5x=2(40.5x),
∴x=;
答:運動秒后,△ADE為直角三角形;
(2)作DG∥AB交BC于點G,
∴∠GDP=∠BEP,∠DGP=∠EBP,∠CDG=∠A=60°,∠CGD=∠ABC=60°,
∴∠C=∠CDG=∠CGD,
∴△CDG是等邊三角形,
∴DG=DC,
∵DC=BE,
∴DG=BE.
在△DGP和△EBP中
,
∴△DGP≌△EBP(ASA),
∴DP=PE.
∴在運動過程中,點P始終為線段DE的中點.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D,過點C作CF∥AB,與過點B的切線交于點F,連接BD.
(1)求證:BD=BF;
(2)若AB=10,CD=4,求BC的長.
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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸分別交于、兩點,與反比例函數(shù)的圖象交點為、,軸,垂足為,若,,的面積為
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)連接、,求的面積;
(3)直接寫出當(dāng)時,的解集.
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【題目】如圖所示,我國兩艘海監(jiān)船 A,B 在南海海域巡邏,某一時刻,兩船同時收到指令,立即前往救援遇險拋錨的漁船 C,此時,B 船在A 船的正南方向 15 海里處,A 船測得漁船 C 在其南偏東 45°方向,B 船測得漁船 C 在其南偏東 53°方向,已知 A 船的航速為 30 海里/小時,B 船的航速為 25 海里/小時,問 C 船至少要等待多長時間才能得到救援?(參考數(shù)據(jù):sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈ 4 , 1.41 )
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【題目】如圖,已知△ABC的周長是20,OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于點D,且OD=3,則△ABC的面積是( )
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
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【題目】如圖是放在地面上的一個長方體盒子,其中AB=18cm,BC=12cm,BF=10cm,點M在棱AB上,且AM=6cm,點N是FG的中點,一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點M爬行到點N,它需要爬行的最短路程為____.
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【題目】4月23日為“世界讀書日”,每年的這一天,世界100多個國家都會舉辦各種各樣的慶祝和圖書宣傳活動.我縣某書店借此機會決定開展“讀書節(jié)”活動,為迎接“讀書節(jié)”制定了活動計劃.以下是活動計劃書的部分信息:
“讀書節(jié)”活動計劃書 | ||
圖書類別 | A類 | B類 |
進價(元/本) | 18 | 12 |
備注 | (1)用不超過16800元購進A、B兩類圖書共1000本: (2)A類圖書不少于600本: |
(1)陳經(jīng)理査看計劃書時發(fā)現(xiàn):A類圖書的標(biāo)價是B類圖書標(biāo)價的1.5倍,若顧客同樣用540元購買圖書,能購買A類圖書數(shù)量比B類圖書的數(shù)量少10本,請求出A、B兩類圖書的標(biāo)價;
(2)經(jīng)市場調(diào)查后,陳經(jīng)理發(fā)現(xiàn)它們高估了“讀書節(jié)”對圖書銷售的影響:便調(diào)整了銷售方案;A類圖書每本按標(biāo)價降低2元銷售,B類圖書價格不變,那么該書店應(yīng)如何進貨才能獲得最大利潤?
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【題目】《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示:
【問題】
如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=a(x-2)2-4經(jīng)過原點O,與x軸的另一個交點為A,則a= ,點A的坐標(biāo)為 .
【操作】
將圖①中的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,如圖②.直接寫出翻折后的這部分拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式: .
【探究】
在圖②中,翻折后的這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成了一個“W”形狀的新圖象,則新圖象對應(yīng)的函數(shù)y隨x的增大而增大時,x的取值范圍是 .
【應(yīng)用】結(jié)合上面的操作與探究,繼續(xù)思考:
如圖③,若拋物線y=(x-h)2-4與x軸交于A,B兩點(A在B左),將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折,同樣,也得到了一個“W”形狀的新圖象.
(1)求A、B兩點的坐標(biāo);(用含h的式子表示)
(2)當(dāng)1<x<2時,若新圖象的函數(shù)值y隨x的增大而增大,求h的取值范圍.
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【題目】八年級(1)班開展了為期一周的“孝敬父母,幫做家務(wù)”社會活動,并根據(jù)學(xué)生幫家長做家務(wù)的時間來評價學(xué)生在活動中的表現(xiàn),把結(jié)果劃分成A,B,C,D,E五個等級.老師通過家長調(diào)查了全班50名學(xué)生在這次活動中幫父母做家務(wù)的時間,制作成如下的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖.
(1)求a,b的值;
(2)根據(jù)頻數(shù)分布表估計該班學(xué)生在這次社會活動中幫父母做家務(wù)的平均時間;
(3)該班的小明同學(xué)這一周幫父母做家務(wù)2小時,他認(rèn)為自己幫父母做家務(wù)的時間比班級里一半以上的同學(xué)多,你認(rèn)為小明的判斷符合實際嗎?請用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量說明理由.
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