Question

【題目】問題背景 如圖1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．

問題初探 請寫出任意一對滿足條件的AB與AC的值：AB=　 　，AC=　 　．

問題再探 如圖2，在AC右側(cè)作∠CAD=∠B，交BC的延長線于點D，求CD的長．

問題解決 求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）6、3；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）設(shè)AC=x，則AB=2x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，求出x的取值范圍，然后取一個符合條件的值即可；

（2）根據(jù)兩角對應相等的兩三角形相似，可證明△DAC∽△DBA，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，代入即可構(gòu)成方程組求解；

（3）設(shè)AC=m、則AB=2m，根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出△ABC的面積，然后由余弦定理，可求得cosC的關(guān)系式，再代入面積的關(guān)系式，配方后，根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可.

試題解析：問題初探，設(shè)AC=x，則AB=2x，

∵BC=4，

∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，

解得： ＜x＜4，

取x=3，則AC=3、AB=6，

故答案為：6、3；

問題再探，∵∠CAD=∠B，∠D=∠D，

∴△DAC∽△DBA，

則==，

設(shè)CD=a、AD=b，

∴，

解得：，

即CD=；

問題解決，設(shè)AC=m、則AB=2m，

根據(jù)面積公式可得S△ABC=ACBCsinC=2msinC=2m，

由余弦定理可得cosC=，

∴S△ABC=2m

=2m

=

=

=

由三角形三邊關(guān)系知＜m＜4，

所以當m=時，S△ABC取得最大值．