Question

【題目】如圖，△ABC和△ADC都是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，點(diǎn)E、F同時(shí)分別從點(diǎn)B、A出發(fā)，各自沿BA、AD方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、D停止，運(yùn)動(dòng)的速度相同，連接EC、FC．

（1）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠ECF的大小是否隨之變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn)A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形的面積變化了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）連接EF，在圖中找出和∠ACE相等的所有角，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ECF不變?yōu)?/span>60°．理由見解析；（2）不變化．理由見解析；（3）∠ACE=∠FCD=∠AFE．理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)SAS證明△BCE≌△ACF，得到∠ECB=∠FCA，從而證明結(jié)論；

（2）結(jié)合（1）中證明的全等三角形，即可發(fā)現(xiàn)以點(diǎn)A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形的面積即為△ABC的面積；

（3）根據(jù)等邊三角形的判定可以證明△ECF是等邊三角形，再進(jìn)一步根據(jù)平角定義，得到∠AFE+∠DFC=120°，則∠AFE=∠FCD，從而求解．

解：（1）∠ECF不變?yōu)?/span>60°．

理由如下：

∵△ABC和△ADC都是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，

∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，

又∵E、F兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間、速度相等，

∴BE=AF，

∴△BCE≌△ACF（SAS），

∴∠ECB=∠FCA．

所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；

（2）不變化．理由如下：

∵四邊形AECF的面積=△AFC的面積+△AEC的面積，△BCE≌△ACF，

∴△AEC的面積+△BEC的面積=△ABC的面積；

（3）證明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，

∴△CEF為等邊三角形，

∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，

∴∠ECF-∠ACF=∠ACD-∠ACF，即∠AFE=∠FCD，

所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．