Question

【題目】如圖1，地面BD上兩根等長(zhǎng)立柱AB，CD之間懸掛一根近似成拋物線(xiàn)y= x2﹣x+3的繩子．

（1）求繩子最低點(diǎn)離地面的距離；

（2）因?qū)嶋H需要，在離AB為3米的位置處用一根立柱MN撐起繩子（如圖2），使左邊拋物線(xiàn)F1的最低點(diǎn)距MN為1米，離地面1.8米，求MN的長(zhǎng)；

（3）將立柱MN的長(zhǎng)度提升為3米，通過(guò)調(diào)整MN的位置，使拋物線(xiàn)F2對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)始終為，設(shè)MN離AB的距離為m，拋物線(xiàn)F2的頂點(diǎn)離地面距離為k，當(dāng)2≤k≤2.5時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m；（2）MN的長(zhǎng)度為2.1m；（3）m的取值范圍是4≤m≤8﹣2．

【解析】

試題分析：（1）直接利用配方法求出二次函數(shù)最值得出答案；（2）利用頂點(diǎn)式求出拋物線(xiàn)F1的解析式，進(jìn)而得出x=3時(shí)，y的值，進(jìn)而得出MN的長(zhǎng)；（3）根據(jù)題意得出拋物線(xiàn)F2的解析式，得出k的值，進(jìn)而得出m的取值范圍．

試題解析：（1）∵a=＞0，

∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，

∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+ ，

∴繩子最低點(diǎn)離地面的距離為：m；

（2）由（1）可知，對(duì)稱(chēng)軸為x=4，則BD=8，

令x=0得y=3，

∴A（0，3），C（8，3），

由題意可得：拋物線(xiàn)F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1.8），

設(shè)F1的解析式為：y=a（x﹣2）2+1.8，

將（0，3）代入得：4a+1.8=3，

解得：a=0.3，

∴拋物線(xiàn)F1為：y=0.3（x﹣2）2+1.8，

當(dāng)x=3時(shí)，y=0.3×1+1.8=2.1，

∴MN的長(zhǎng)度為：2.1m；

（3）∵MN=DC=3，

∴根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線(xiàn)F2的頂點(diǎn)在ND的垂直平分線(xiàn)上，

∴拋物線(xiàn)F2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（m+4，k），

∴拋物線(xiàn)F2的解析式為：y=（x﹣m﹣4）2+k，

把C（8，3）代入得：（8﹣m﹣4）2+k=3，

解得：k=﹣（4﹣m）2+3，

∴k=﹣（m﹣8）2+3，

∴k是關(guān)于m的二次函數(shù)，

又∵由已知m＜8，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，

∴k隨m的增大而增大，

∴當(dāng)k=2時(shí)，﹣（m﹣8）2+3=2，

解得：m1=4，m2=12（不符合題意，舍去），

當(dāng)k=2.5時(shí)，﹣（m﹣8）2+3=2.5，

解得：m1=8﹣2 ，m2=8+2（不符合題意，舍去），

∴m的取值范圍是：4≤m≤8﹣2．