【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知ABC,ABC=90°,頂點(diǎn)A在第一象限,B,Cx軸的正半軸上(CB的右側(cè)),BC=2,AB=2,ADCABC關(guān)于AC所在的直線對稱.

(1)當(dāng)OB=2時,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)A和點(diǎn)D在同一個反比例函數(shù)的圖象上,求OB的長;

(3)如圖2,將第(2)題中的四邊形ABCD向右平移,記平移后的四邊形為A1B1C1D1,過點(diǎn)D1的反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象與BA的延長線交于點(diǎn)P.問:在平移過程中,是否存在這樣的k,使得以點(diǎn)P,A1,D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的k的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)點(diǎn)D坐標(biāo)為(5,);(2)OB=3;(3)k=12

【解析】(1)如圖1中,作DEx軸于E,解直角三角形清楚DE,CE即可解決問題;

(2)設(shè)OB=a,則點(diǎn)A的坐標(biāo)(a,2),由題意CE=1.DE=,可得D(3+a,),點(diǎn)A、D在同一反比例函數(shù)圖象上,可得2a=(3+a),求出a的值即可;

(3)分兩種情形:①如圖2中,當(dāng)∠PA1D=90°時.②如圖3中,當(dāng)∠PDA1=90°時.分別構(gòu)建方程解決問題即可;

1)如圖1中,作DEx軸于E.

∵∠ABC=90°,

tanACB=,

∴∠ACB=60°,

根據(jù)對稱性可知:DC=BC=2,ACD=ACB=60°,

∴∠DCE=60°,

∴∠CDE=90°-60°=30°,

CE=1,DE=

OE=OB+BC+CE=5,

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(5,).

(2)設(shè)OB=a,則點(diǎn)A的坐標(biāo)(a,2),

由題意CE=1.DE=,可得D(3+a,),

∵點(diǎn)A、D在同一反比例函數(shù)圖象上,

2a=(3+a),

a=3,

OB=3.

(3)存在.理由如下:

①如圖2中,當(dāng)∠PA1D=90°時.

ADPA1,

∴∠ADA1=180°-PA1D=90°,

RtADA1中,∵∠DAA1=30°,AD=2,

AA1==4,

RtAPA1中,∵∠APA1=60°,

PA=,

PB=,

設(shè)P(m,),則D1(m+7,),

P、A1在同一反比例函數(shù)圖象上,

m=(m+7),

解得m=3,

P(3,),

k=10

②如圖3中,當(dāng)∠PDA1=90°時.

∵∠PAK=KDA1=90°,AKP=DKA1

∴△AKP∽△DKA1

,

∵∠AKD=PKA1,

∴△KAD∽△KPA1,

∴∠KPA1=KAD=30°,ADK=KA1P=30°,

∴∠APD=ADP=30°,

AP=AD=2,AA1=6,

設(shè)P(m,4),則D1(m+9,),

P、A1在同一反比例函數(shù)圖象上,

4m=(m+9),

解得m=3,

P(3,4),

k=12

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