Question

【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E,延長BC到點F，連接AF,使∠ABC=2∠CAF．

（1）求證：AF是⊙O的切線；

（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】分析：（1）連接BD，由圓周角定理得出∠ADB=90°，由等腰三角形的性質得出∠ABC=2∠ABD，得出∠ABD=∠CAF，證出∠CAF+∠CAB=90°，BA⊥FA，即可得出結論；
（2）連接AE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，設CE長為x，則EB長為3x， 由勾股定理可得 在Rt中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

詳解：（1）證明：連接BD，如圖1所示：

∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°，

∵BA=BC，

∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD,

∵∠ABC=2∠CAF，∴∠ABD=∠CAF，

∵∠ABD+∠CAB=90°，

∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，

∴AF是⊙O的切線；

（2）連接AE，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑∴∠AEB=90°，即△AEB為直角三角形，

∵ 設CE長為x，則EB長為3x，BC長為4x．則AB長為4x，

在Rt△AEB中由勾股定理可得 在Rt△AEC中，

由勾股定理得：，解得：

∵

∴

即CE長為