Question

【題目】如圖，⊙C的內(nèi)接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)（﹣2，6）．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）直線m與⊙C相切于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段DA上，從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P的速度為每秒一個(gè)單位長(zhǎng)，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)，當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；

（3）點(diǎn)R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當(dāng)△ROB面積最大時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x．(2) t=1.8秒；(3) R（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)（﹣2，6），利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）如圖1，由已知條件，可以計(jì)算出OD、AE等線段的長(zhǎng)度．當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，此時(shí)四邊形OFQP、OFAE均為矩形．則在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的長(zhǎng)度，從而得到時(shí)間t的數(shù)值；

（3）因?yàn)镺B為定值，欲使△ROB面積最大，只需OB邊上的高最大即可．按照這個(gè)思路解決本題．

如圖2，當(dāng)直線l平行于OB，且與拋物線相切時(shí)，OB邊上的高最大，從而△ROB的面積最大．聯(lián)立直線l和拋物線的解析式，利用一元二次方程判別式等于0的結(jié)論可以求出R點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)（﹣2，6），

∴，

解得

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x．

（2）如圖1，連接AC交OB于點(diǎn)E，由垂徑定理得AC⊥OB．

∵AD為切線，

∴AC⊥AD，

∴AD∥OB．

過(guò)O點(diǎn)作OF⊥AD于F，

∴四邊形OFAE是矩形，

∵tan∠AOB=，

∴sin∠AOB=，

∴AE=OAsin∠AOB=4×=2.4，

OD=OAtan∠OAD=OAtan∠AOB=4×=3．

當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，OP=t，DQ=2t．

在Rt△ODF中，

∵OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t，

由勾股定理得：DF=，

∴t=1.8秒；

（3）如圖2，設(shè)直線l平行于OB，且與拋物線有唯一交點(diǎn)R（相切），

此時(shí)△ROB中OB邊上的高最大，所以此時(shí)△ROB面積最大．

∵tan∠AOB=，∴直線OB的解析式為y=x，

由直線l平行于OB，可設(shè)直線l解析式為y=x+b．

∵點(diǎn)R既在直線l上，又在拋物線上，

∴x2﹣2x=x+b，化簡(jiǎn)得：2x2﹣11x﹣4b=0．

∵直線l與拋物線有唯一交點(diǎn)R（相切），

∴判別式△=0，即112+32b=0，解得b=﹣，

此時(shí)原方程的解為x=，即xR=，

而yR=xR2﹣2xR=

∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為R（，）．