Question

1．問題提出：有同樣大小正方形256個，拼成如圖1所示的16×16的一個大的正方形．請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過多少個小正方形？

我們先考慮以下簡單的情況：一條直線穿越一個正方形的情況．（如圖2）
從圖2中我們可以看出，當一條直線穿過一個小正方形時，這條直線最多與正方形上、下、左、右四條邊中的兩個邊相交，所以當一條直線穿過一個小正方形時，這條直線會與其中某兩條邊產生兩個交點，并且以兩個交點為頂點的線段會全部落在小正方形內．
這就啟發(fā)我們：為了求出直線L最多穿過多少個小正方形，我們可以轉而去考慮當直線L穿越由小正方形拼成的大正方形時最多會產生多少個交點．然后由交點數去確定有多少根小線段，進而通過線段的根數確定下正方形的個數．
再讓我們來考慮3×3正方形的情況（如圖3）：為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個3×3的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過3×3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的兩條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的四條線段；這樣直線L最多可穿過3×3的大正方形中的六條線段，從而直線L上會產生6個交點，這6個交點之間的5條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過5個小正方形．
問題解決：
（1）有同樣大小的小正方形16個，拼成如圖4所示的4×4的一個大的正方形．請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過7個小正方形？
（2）有同樣大小的小正方形100個，拼成10×10的一個大的正方形．請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過19個小正方形？
（3）有同樣大小的小正方形256個，拼成16×16的一個大的正方形．請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過31個小正方形？
（4）請問如果用一條直線穿n×n大正方形的話，最多可以穿過2n-1個小正方形？
拓展探究：
（5）請問如果用一條直線穿2×3大長方形的話（如圖5），最多可以穿過4個小正方形？
（6）請問如果用一條直線穿3×4大長方形的話（如圖6），最多可以穿過6個小正方形？
（7）請問如果用一條直線穿m×n大長方形的話，最多可以穿過m+n-1個小正方形？
請將你的推理過程進行簡要的敘述．
類比探究：由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的立體空間，平面中的正方形中四條邊可聯(lián)想到正方體中的正方形的六個面，類比上面問題解決的方法解決如下問題．
（8）如圖①有同樣大小的小正方體8個，拼成如圖①所示的2×2×2的一個大的正方體．請問如果用一條直線穿過這個大正方體的話，最多可以穿過多少個小正方體？

（9）請問如果用一條直線穿過n×n×n大正方體的話，最多可以穿過多少個小正方體？

Answer 1

分析 （1）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個4×4的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過4×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的3條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的8條線段，從而直線L上會產生8個交點，這8個交點之間的7條線段，這樣就不難得到答案．
（2）應用規(guī)律2n-1得到答案．
（3）應用規(guī)律2n-1得到答案．
（4）應用規(guī)律2n-1得到答案．
（5）我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個2×3的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過2×3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的1條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的4條線段；這樣直線L最多可穿過2×3的大正方形中的5條線段，從而直線L上會產生5個交點，這5個交點之間的4條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過4個小正方形．
（6）不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個3×4的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過3×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的2條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的7條線段，從而直線L上會產生7個交點，這7個交點之間的6條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過6個小正方形．
（7）不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個m×n的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過m×n正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的（m-1）條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的（n+1）條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的（m+n）條線段，從而直線L上會產生（m+n）個交點，這m+n個交點之間的（m+n-1）條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過（m+n-1）個小正方形．
（8）用類似的方法得到規(guī)律：3n-2．即可解決．
（9）根據規(guī)律3n-2得到答案．

解答 解：（1）再讓我們來考慮4×4正方形的情況（如圖4）：為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個4×4的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過4×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的3條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的8條線段，從而直線L上會產生8個交點，這8個交點之間的7條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過7個小正方形．
故答案為7
（2）我們發(fā)現(xiàn)直線穿越1×1正方形時最多經過1個正方形，直線穿越2×2正方形時最多經過3個正方形，直線穿越3×3正方形時最多經過5個正方形，
直線穿越4×4正方形時最多經過7個正方形，…直線穿越n×n正方形時最多經過2n-1個正方形．
∴直線穿越10×10正方形時最多經過19個正方形．
故答案為19．
（3）由（2）可知，有2×16-1=31個正方形，
故答案為31．
（4）由（2）可知有2n-1個正方形．
故答案為2n-1．
（5）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個2×3的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過2×3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的1條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的4條線段；這樣直線L最多可穿過2×3的大正方形中的5條線段，從而直線L上會產生5個交點，這5個交點之間的4條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過4個小正方形，
故答案為4．
（6）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個3×4的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過3×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的2條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的7條線段，從而直線L上會產生7個交點，這7個交點之間的6條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過6個小正方形．
故答案為6．
（7）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個m×n的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過m×n正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的（m-1）條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的（n+1）條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的（m+n）條線段，從而直線L上會產生（m+n）個交點，這m+n個交點之間的（m+n-1）條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過（m+n-1）個小正方形，
故答案為（m+n-1）．
（8）用類似的方法可以得到：用一條直線穿過1×1×1正方體的話，最多可以穿過1個小正方體，用一條直線穿過，2×2×2正方體的話，最多可以穿過4個小正方體，用一條直線穿過，3×3×3正方體的話，最多可以穿過7個小正方體，用一條直線穿過4×4×4正方體的話，最多可以穿過10個小正方體，…用一條直線穿過，n×n×n正方體的話，最多可以穿過（3n-2）個小正方體．
故答案為4．
（9）由（8）可知有（3n-2）個正方形，
故答案為（3n-2）．

點評 本題考查線線相交得點、以及正方形、立方體的有關知識，是個探究題目，學會從簡單到復雜的推理方法，找到規(guī)律即可解決問題，本題難度比較大，從穿過的線段入手，找到問題的突破口，這個方法值得在以后的學習中應用．