Question

3．如圖，取一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，沿AD邊上任意一點(diǎn)M折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置，設(shè)折痕為MN，D′C′交BC于點(diǎn)E且∠AMD′=α，∠NEC′=β
（1）探究α、β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）連接AD′是否存在折疊后△AD′M與△C′EN全等的情況？若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)直接作否定的回答，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）α+β=90°．如圖1，延長(zhǎng)MD′交BC于點(diǎn)F．利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得到：∠AM D′=∠MFE=α．然后根據(jù)折疊的性質(zhì)推知：∠MFE+∠D′EF=90°，∠D′EF=∠NEC′，故α+β=90°；
（2）當(dāng)點(diǎn)D′與點(diǎn)B重合時(shí)，△AD′M與△C′EN全等．如圖2，此時(shí)，B、E、D′三點(diǎn)重合．利用折疊的性質(zhì)和全等三角形的判定定理HL證得這兩個(gè)三角形全等；

解答 解：（1）α+β=90°．理由如下：
如圖1，延長(zhǎng)MD′交BC于點(diǎn)F．
∵AD∥BC，
∴∠AM D′=∠MFE=α．
又∠MD′E=∠D=90°，∠FD′E=90°，
∴∠MFE+∠D′EF=90°，∠D′EF=∠NEC′，
故α+β=90°；

（2）當(dāng)點(diǎn)D′與點(diǎn)B重合時(shí)，△AD′M與△C′EN全等．
如圖2，此時(shí)，B、E、D′三點(diǎn)重合．
∵由折疊可知，∠1=∠2，
∴∠C′=∠C=∠A=90°，C′E=CD．
∵AD∥BC，∠2=∠3，
得∠1=∠3，
 即D′M=EN．
又AD′=DC，
∴AD′=C′E，
∴在Rt△AD′M與Rt△C′EN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD′=CE′}\\{D′M=EN}\end{array}\right.$，
故Rt△AD′M≌Rt△C′EN（HL）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．難度比較大，需要學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的掌握；另外，對(duì)于等腰三角形的頂點(diǎn)不確定的問(wèn)題，需要分類(lèi)討論，以防漏解．