Question

已知一個直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．

（1）若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；
（2）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；
（3）若折痕經(jīng)過點(diǎn)O，請求出點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（4）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，且使DB′⊥OA，求此時點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）如圖（1），∵OB=4，延CD折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，
∴OC=BC=

1

2

OB=2，
∴C的坐標(biāo)是（0，2），
如圖（2）連接AC，
∵OB=4，延CD折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，
∴BC=AC，
設(shè)OC=a，則AC=BC=4-a，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC²+OA²=AC²，
a²+2²=（4-a）²，
解得：a=

3

2

，
即C（0，

3

2

），
故答案為：（0，2），（0，

3

2

）．
（2）如圖（3）連接B′C，
∵延CD折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，
∴BC=B′C=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理得：OC²+OB′²=B′C²，
y²+x²=（4-y）²，
即y=-

1

8

x²+2，y的取值范圍是

3

2

≤y≤2．
（3）如圖（4）
∵若折痕經(jīng)過點(diǎn)O（C和O重合），點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)B′，
∴OB=OB′=4，
即B′的坐標(biāo)是（4，0）．
（4）如圖（5）連接B′C，
設(shè)OB′=x，OC=y，
∵延CD折疊B和B′重合，
∴BC=B′C，BD=B′D，
∴∠CBB′=∠CB′B，∠DBB′=∠DB′B，
∵B′D⊥OA，∠AOB=90°，
∴B′D∥OB，
∴∠CBB′=∠BB′D，
∴∠CBB′=∠B′BD，
∴B′C∥BD，
∴△OB′C∽△OAB，
∴

OB′

OA

=

OC

OB

，
∴

x

2

=

y

4

，
即y=2x，
∴OB′=x，OC=2x，BC=4-2x=B′C，
在Rt△COB′中，由勾股定理得：x²+（2x）²=（4-2x）²，
∵x為邊長，
∴x＞0，
解方程得：x=4

5

-8，2x=-16+8

5

，
∴C的坐標(biāo)是（0，-16+8

5

）．