【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+6與x軸交于點A(6,0),B(﹣1,0),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M為該拋物線對稱軸上一點,當CM+BM最小時,求點M的坐標.
(3)拋物線上是否存在點P,使△ACP為直角三角形?若存在,有幾個?寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+5x+6;(2)點M();(3)點P的坐標為(﹣2,﹣8)或(4,10)或(2+2,4+2)或(2﹣2,4﹣2).
【解析】
(1)已知C(0,6),由交點式設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣6),把C點代入即可求解;
(2)先求出拋物線的對稱軸,再作出點B關于拋物線對稱軸的對稱點(即為A點),連接AC交對稱軸于點M,再求AC與對稱軸的交點可得結果;
(3)由點P在拋物線上,可先設出P點坐標,然后分別表示出PC2、PA2 、AC2,再按照∠PAC=90°、∠PCA=90°、∠APC=90°三種情況分別求解即可.
(1)當x=0時,y=ax2+bx+6=6,則C(0,6),
設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣6),
把C(0,6)代入得a1(﹣6)=6,解得a=﹣1,
∴拋物線的解析式為y=﹣(x+1)(x﹣6),即y=﹣x2+5x+6;
(2)∵拋物線的對稱軸是直線x=,直線AC的解析式為y=-x+6,點B關于對稱軸直線x=的對稱點為點A,
∴連接AC,交直線x=于點M,此時點M滿足CM+BM最小,
當x=時,y=,∴點M()
(3)設P點坐標為(x,﹣x2+5x+6),存在4個點P,使△ACP為直角三角形.
PC2=x2+(﹣x2+5x)2,PA2=(x﹣6)2+(﹣x2+5x+6)2,AC2=62+62=72,
當∠PAC=90°,∵PA2+AC2=PC2,
∴(x﹣6)2+(﹣x2+5x+6)2+72=x2+(﹣x2+5x)2,
整理得x2﹣4x﹣12=0,得x1=6(舍去),x2=﹣2,此時P點坐標為(﹣2,﹣8);
當∠PCA=90°,∵PC2+AC2=PA2,
72+x2+(﹣x2+5x)2=(x﹣6)2+(﹣x2+5x+6)2,
整理得x2﹣4x=0,解得x1=0(舍去),x2=4,此時P點坐標為(4,10);
當∠APC=90°,∵PA2+AC2=PC2,
∴(x﹣6)2+(﹣x2+5x+6)2+x2+(﹣x2+5x)2=72,
整理得x3﹣10x2+20x+24=0,
x3﹣10x2+24x﹣4x+24=0,
x(x2﹣10x+24)﹣4(x﹣6)=0,
x(x﹣4)(x﹣6)﹣4(x﹣6)=0,
(x﹣6)(x2﹣4x﹣4)=0,
而x﹣6≠0,
所以x2﹣4x﹣4=0,解得x1=2+2,x2=2﹣2,此時P點坐標為(2+2,4+2)或(2﹣2,4﹣2);
綜上所述,符合條件的點P的坐標為(﹣2,﹣8)或(4,10)或(2+2,4+2)或(2﹣2,4﹣2).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,E,F(xiàn)分別是DC和CB的延長線上的點,且DE=BF,連接AE,AF,EF.
(1)求證:△ADE≌△ABF;
(2)填空:△ABF可以由△ADE繞旋轉中心____點,按順時針方向旋轉___度得到;
(3)若BC=8,DE=2,求△AEF的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)學社團小組想利用所學的知識了解某廣告牌的高度(圖中GH的長),經(jīng)測量知CD=2m,在B處測得點D的仰角為60°,在A處測得點C的仰角為30°,AB=10m,且A、B、H三點在一條直線上,請根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算GH的長(=1.73,要求結果精確得到0.1m)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D(﹣1,3),與x軸的一個交點在(﹣3,0)和(﹣2,0)之間,其部分圖象如圖,則以下結論:
①b2+4ac>0;②c﹣a=3;③a+b+c<0;④方程ax2+bx+c=m(m≥2)一定有實數(shù)根,其中正確的結論為( )
A.②③ B.①③ C.①②③ D.①②④
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校120名學生某一周用于閱讀課外書籍的時間的頻率分布直方圖如圖所示.其中閱讀時間是8~10小時的頻數(shù)和頻率分別是( )
A. 15和0.125 B. 15和0.25 C. 30和0.125 D. 30和0.25
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AC、BD相交于點O,E為AB的中點,且DE⊥AB,AC=6,則菱形ABCD的面積是( )
A. 18 B. 18 C. 9 D. 6
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在□ABCD中,AB=2cm,線段AB與直線l之間的距離為cm,線段CD的起始位置在MN處,此時∠MAB=1350,現(xiàn)將線段CD在直線l上向右移動,移動速度為1cm/s,運動時間為ts.
(1)當t=____s時,□ABCD為矩形;
(2)線段CD在直線l上移動過程中,當□ABCD為菱形時,求線段CD運動時間t的值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com