Question

【題目】如圖，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，將△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α（0≤α≤90°），得到△EFC，EF與AB、AC相交于點D、H，FC與AB相交于點G、AC相交于點D、H，FC與AB相較于點G．

（1）求證：△GBC≌△HEC；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)α是多少度時四邊形BCED可以是某種特殊的平行四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)α=45°時，四邊形BCED為菱形，理由詳見解析．

【解析】

（1）先判斷△ABC為等腰直角三角形得到∠A=∠B=45°，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，最后可根據(jù)“ASA”可判斷△GBC≌△HEC；
（2）當(dāng)α=45°時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCF=∠ACE=45°，則可計算出∠BCE=∠BCA+∠ACE=135°，再證BD∥CE，BC∥DE，于是可判斷四邊形BCED為平行四邊形，結(jié)合CB=CE，則可判斷四邊形BCED為菱形．

解：（1）證明：∵BC=AC，∠ACB=90°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，

∵△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α°（0≤α≤90°），得到△EFC，

∴∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，

在△GBC和△HEC中

∴△GBC≌△HEC（ASA）；

（2）解：當(dāng)α=45°時，四邊形BCED為菱形．理由如下：

如圖，

∵∠BCF=∠ACE=45°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°+45°=135°，

而∠E=∠B=45°，

∴∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，

∴BD∥CE，BC∥DE（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），

∴四邊形BCED為平行四邊形，

∵CB=CE，

∴四邊形BCED為菱形．