Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，直線y=2x﹣1，與y軸交于點A，與直線y=﹣x交于點B，點B關于原點的對稱點為點C．

（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；

（2）P為拋物線上一點，它關于原點的對稱點為Q，當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2-x-1；（2）P點坐標為（1-，1-）或（1+，1+）.

【解析】試題分析：本題主要考查二次函數的應用。

（1）由兩直線解析式求出B點坐標，由題意B、C關于原點對稱求出C坐標，再由y=2x-1與y軸交于點A，求出點A的坐標，即可用待定系數法確定二次函數解析式。

（2）①先由點P在拋物線上，設出點P的坐標。根據菱形的性質可知對角線垂直，則可得PQ所在直線的解析式，把點P代入該直線解析式可得點P的坐標。

解：（1）聯立兩直線解析式可得，解得 ，
∴B點坐標為（-1，1），
又C點為B點關于原點的對稱點，
∴C點坐標為（1，-1），
∵直線y=-2x-1與y軸交于點A，
∴A點坐標為（0，-1），
設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，
把A、B、C三點坐標代入可得，解得，
∴拋物線解析式為y=x2-x-1；

（2）當四邊形PBQC為菱形時，則PQ⊥BC，
∵直線BC解析式為y=-x，
∴直線PQ解析式為y=x，
聯立拋物線解析式可得，解得或 ，
∴P點坐標為（1-，1-）或（1+，1+）.