Question

【題目】如圖，點(diǎn) E 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn) BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 B、D 兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn) E 作直線(xiàn) MN∥DC，交 AD 于 M，交 BC 于 N，連接 AE，作 EF⊥AE 于 E，交直線(xiàn) CB 于 F．

（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) F 在線(xiàn)段 CB 上時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量，猜想△AEF 的形狀，并證明你的猜想；

（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) F 在線(xiàn)段 CB 的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其它條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在點(diǎn) E 從點(diǎn)D 向點(diǎn)B 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形 AFNM 的面積是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生了變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若沒(méi)有發(fā)生變化，請(qǐng)求出其面積的值．

Answer 1

【答案】（1）△AEF是等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析；（2）△AEF是等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析；（3）四邊形 AFNM 的面積沒(méi)有發(fā)生改變，都是．

【解析】

根據(jù)四邊形 ABCD 是正方形，BD 是對(duì)角線(xiàn)，且 MN∥BA，求證△

DEM 和△BNE 都是等腰直角三角形．又利用 EF⊥AE，可得∠EFN=∠AEM，然后即可求證，△AME≌△ENF；

利用（1）中證法求出 BN=EN=AM，∠AEM=∠EFN，即可得出答案；

分兩種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到 BD 的中點(diǎn)時(shí)，利用四邊形 AFNM

是矩形，可得 S四邊形AFNM=

（ii）當(dāng)點(diǎn) E 不在 BD 的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) E 在運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn) B、D 不重合）的過(guò)程中，四邊形 AFNM 是直角梯形．由（1）知，△AME≌△ENF，同理，圖（2）△AME≌△ENF，然后即可得出結(jié)論．

（1）∵四邊形 ABCD 是正方形，BD 是對(duì)角線(xiàn)，且 MN∥AB，

∴四邊形 ABNM 和四邊形 MNCD 都是矩形，

△NEB 和△MDE 都是等腰直角三角形．

∴∠AEF=∠ENF=90°，MN=BC=AB，EN=BN

即 EN=AM，

又∵∠AEM+∠FEN=90°，∠AEM+∠EAM=90°

∴∠EAM=∠FEN，

∵∠AME=∠ENF=90°，

∴△AME≌△ENF（ASA）；

∴AE=BE，

∵AE⊥EF，

∴△AEF 是等腰直角三角形；

（2）由（1）同理可得：

∴BN=EN=AM，

∠AEM=∠EFN，

∵∠AME=∠ENF=90°

∴△AME≌△ENF（ASA）；

∴AE=EF，

∵AE⊥EF，

∴△AEF 是等腰直角三角形；

四邊形 AFNM 的面積沒(méi)有發(fā)生變化

（i）當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到 BD 的中點(diǎn)時(shí)，

四邊形 AFNM 是矩形，S 四邊形AFNM=

（ii）當(dāng)點(diǎn) E 不在 BD 的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) E 在運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn) B、D 不重合）的過(guò)程中，四邊形 AFNM 是直角梯形．

由（1）知，△AME≌△ENF，

同理，圖（2），△AME≌△ENF，

∴FN=EM=DM．

∴FN+AM=DM+AM=AD=1

這時(shí)，S 四邊形AFNM

綜合（i）、（ii）可知四邊形 AFNM 的面積沒(méi)有發(fā)生改變，都是．