【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形?若存在,試求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) y=﹣x2+2x+3;(2)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)將B(3,0),C(0,3)代入拋物線y=ax2+2x+c,可以求得拋物線的解析式;
(2) 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,t),利用勾股定理求出AC2、AQ2、CQ2,然后分AC為斜邊,AQ為斜邊,CQ時(shí)斜邊三種情況求解即可.
解:(1)∵拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),
∴,得,
∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形,
理由:∵拋物線y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)C(0,3),
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,t),則
AC2=OC2+OA2=32+12=10,
AQ2=22+t2=4+t2,
CQ2=12+(3﹣t)2=t2﹣6t+10,
當(dāng)AC為斜邊時(shí),
10=4+t2+t2﹣6t+10,
解得,t1=1或t2=2,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1)或(1,2),
當(dāng)AQ為斜邊時(shí),
4+t2=10+t2﹣6t+10,
解得,t=,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,),
當(dāng)CQ時(shí)斜邊時(shí),
t2﹣6t+10=4+t2+10,
解得,t=,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,﹣),
由上可得,當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,1)、(1,2)、(1,)或(1,﹣)時(shí),使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤(pán)A,B,都被分成3等份,每份內(nèi)均標(biāo)有數(shù)字,小明和小亮用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做游戲,游戲規(guī)則如下:分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)A和B,兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后,將兩個(gè)指針?biāo)阜輧?nèi)的數(shù)字相加(如果指針恰好停在等分線上,那么重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一份為止),若和為偶數(shù),則小明獲勝;如果和為奇數(shù),那么小亮獲勝.
(1)請(qǐng)畫(huà)出樹(shù)狀圖,求小明獲勝的概率P(A)和小亮獲勝的概率P(B).
(2)通過(guò)(1)的計(jì)算結(jié)果說(shuō)明該游戲的公平性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】動(dòng)物學(xué)家通過(guò)大量的調(diào)查估計(jì)出,某種動(dòng)物活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率是0.5,活到30歲的概率是0.3.現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率為多少?現(xiàn)年25歲的這種動(dòng)物活到30歲的概率為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1),在△ABC中,∠ACB=90°,以AB為直徑作⊙O;過(guò)點(diǎn)C作直線CD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,且BD=OB,CD=CA.
(1)求證:CD是⊙O的切線.
(2)如圖(2),過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,若⊙O的半徑為8,∠A=30°,求線段BE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小雁塔位于唐長(zhǎng)安城安仁坊(今陜西省西安市南郊)薦福寺內(nèi),又稱(chēng)“薦福寺塔”,建于唐景龍年間,與大雁塔同為唐長(zhǎng)安城保留至今的重要標(biāo)志.小明在學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后,想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量“小雁塔”的高度,小明在一棟高9.982米的建筑物底部D處測(cè)得塔頂端A的仰角為45°,接著在建筑物頂端C處測(cè)得塔頂端A的仰角為37.5°.已知AB⊥BD,CD⊥BD,請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息,求出“小雁塔”的高AB的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù):sin37.5°≈0.61,cos37.5°≈0.79,tan37.5°≈0.77)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形OBCD中的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上,點(diǎn)A是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C、D重合)。若四邊形OBCD是平行四邊形時(shí),那么的數(shù)量關(guān)系是________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),且k≠0)的圖象x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,4),B(2,m).
(1)求反比例函數(shù)的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在y軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn),連接AD,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E.
(1)如圖1,若∠BAD=15°,且CE=1,求線段BD的長(zhǎng);
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE,且CF=CE,連接FE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,連接BF,求證:AM=BM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖像分別與、軸交于兩點(diǎn),正比例函數(shù)的圖像與交于點(diǎn).
(1)求的值及的解析式;
(2)求的值;
(3)在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn),使以為腰的為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).
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