【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+cx軸交于A、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形?若存在,試求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) y=﹣x2+2x+3;(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)B30,C0,3)代入拋物線y=ax2+2x+c,可以求得拋物線的解析式;

(2) 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,t),利用勾股定理求出AC2AQ2、CQ2,然后分AC為斜邊AQ為斜邊,CQ時(shí)斜邊三種情況求解即可.

解:(1)∵拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),

,得,

∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;

(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形,

理由:∵拋物線y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)C(0,3),

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,t),則

AC2=OC2+OA2=32+12=10,

AQ2=22+t2=4+t2,

CQ2=12+(3﹣t)2=t2﹣6t+10,

當(dāng)AC為斜邊時(shí),

10=4+t2+t2﹣6t+10,

解得,t1=1或t2=2,

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1)或(1,2),

當(dāng)AQ為斜邊時(shí),

4+t2=10+t2﹣6t+10,

解得,t=,

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,),

當(dāng)CQ時(shí)斜邊時(shí),

t2﹣6t+10=4+t2+10,

解得,t=

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,﹣),

由上可得,當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,1)、(1,2)、(1,)或(1,﹣)時(shí),使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形.

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