Question

【題目】在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M=x．

（1）用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切；
（3）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵M(jìn)N∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．

∴△AMN∽△ABC．

∴ ，即 ；

∴AN= x；

∴S=S△MNP=S△AMN= xx= x2．（0＜x＜4）

（2）

解：如圖2，設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連接AO，OD，則AO=OD= MN．

在Rt△ABC中，BC= =5；

由（1）知△AMN∽△ABC，

∴ ，即 ，

∴MN= x

∴OD= x，

過M點(diǎn)作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD= x，

在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA，

∴ ，

∴BM= x，AB=BM+MA= x+x=4

∴x= ，

∴當(dāng)x= 時(shí)，⊙O與直線BC相切

（3）

解：隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連接AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，

∴△AMO∽△ABP，

∴ ，

∵AM=MB=2，

故以下分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=S△PMN= x2，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y最大= ×4= ，

②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)，

∵四邊形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=M=x，

又∵M(jìn)N∥BC，

∴四邊形MBFN是平行四邊形；

∴FN=BM=4﹣x，

∴PF=x﹣（4﹣x）=2x﹣4，

又∵△PEF∽△ACB，

∴ ，

∴S△PEF= （x﹣2）2；

y=S△MNP﹣S△PEF= x2﹣ （x﹣2）2=﹣ x2+6x﹣6，

當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=﹣ x2+6x﹣6=﹣ （x﹣ ）2+2，

∴當(dāng)x= 時(shí)，滿足2＜x＜4，y最大=2．

綜上所述，當(dāng)x= 時(shí)，y值最大，最大值是2

【解析】（1）由于三角形PMN和AMN的面積相當(dāng)，那么可通過求三角形AMN的面積來得出三角形PMN的面積，求三角形AMN的面積可根據(jù)三角形AMN和ABC相似，根據(jù)相似比的平方等于面積比來得出三角形AMN的面積；（2）當(dāng)圓O與BC相切時(shí)，O到BC的距離就是MN的一半，那么關(guān)鍵是求出MN的表達(dá)式，可根據(jù)三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表達(dá)式，也就求出了O到BC的距離的表達(dá)式，如果過M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距離，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函數(shù)以及BM的表達(dá)式表示出MQ，然后讓這兩表示MQ的含x的表達(dá)式相等，即可求出x的值；（3）要求重合部分的面積首先看P點(diǎn)在三角形ABC內(nèi)部還是外面，因此可先得出這兩種情況的分界線即當(dāng)P落到BC上時(shí)，x的取值，那么P落點(diǎn)BC上時(shí)，MN就是三角形ABC的中位線，此時(shí)AM=2，因此可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，此時(shí)重合部分的面積就是三角形PMN的面積，三角形PMN的面積（1）中已經(jīng)求出，即可的x，y的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，如果設(shè)PM，PN交BC于E，F(xiàn)，那么重合部分就是四邊形MEFN，可通過三角形PMN的面積﹣三角形PEF的面積來求重合部分的面積．不難得出PN=AM=x，而四邊形BMNF又是個(gè)平行四邊形，可得出FN=BM，也就有了FN的表達(dá)式，就可以求出PF的表達(dá)式，然后參照（1）的方法可求出三角形PEF的面積，即可求出四邊形MEFN的面積，也就得出了y，x的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)兩種情況得出的函數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍求出y的最大值即可．