Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4S△BOC ， 求點P的坐標；
（3）如圖b，設點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得

，

解得 ．

故該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3．

（2）解：由（1）知，該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，則易得B（1，0）．

∵S△AOP=4S△BOC，

∴ ×3×|﹣x2﹣2x+3|=4× ×1×3．

整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，

解得x=﹣1或x=﹣1±2 ．

則符合條件的點P的坐標為：（﹣1，4）或（﹣1+2 ，﹣4）或（﹣1﹣2 ，﹣4）

（3）解：設直線AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，3）代入，

得 ，

解得 ．

即直線AC的解析式為y=x+3．

設Q點坐標為（x，x+3），（﹣3≤x≤0），則D點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），

QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ，

∴當x=﹣ 時，QD有最大值

【解析】（1）利用待定系數(shù)法，把點A、C的坐標分別代入函數(shù)解析式，列出方程組，求解即可求出拋物線的解析式。
（2）設P點坐標為（x，-x2-2x+3），根據(jù)S△AOP=4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；
（3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再設Q點坐標為（x，x+3），則D點坐標為（x，x2+2x-3），然后求出QD與x的函數(shù)解析式，求出其頂點坐標，即可求出線段QD長度的最大值。

【考點精析】通過靈活運用公式法和確定一次函數(shù)的表達式，掌握要用公式解方程，首先化成一般式．調整系數(shù)隨其后，使其成為最簡比．確定參數(shù)abc，計算方程判別式．判別式值與零比，有無實根便得知．有實根可套公式，沒有實根要告之；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法即可以解答此題．