Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)（6，8），過(guò)點(diǎn)D作DB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，將△BCD沿BC折疊，使得點(diǎn)D落在x軸上的點(diǎn)A處．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC運(yùn)動(dòng)．
（1）求直線(xiàn)BC的解析式；
（2）設(shè)以A、O、E、C為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，求出S與a的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（3）在（2）問(wèn)條件下，當(dāng)E點(diǎn)在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，a為何值時(shí)，∠EDC=∠ACO．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)條件，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，可求得OB=OC=6，可求得B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線(xiàn)BC的解析式；
（2）分a＞0和a＜0兩種情況，當(dāng)a＞0時(shí)，S_{四邊形AOEC}=S_△ABC-S_△BOE；當(dāng)a＜0時(shí)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，過(guò)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，S_{四邊形AOCE}=S_梯形OCEF-S_△AEF，再代入可得到S與a的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過(guò)D作DE⊥y軸，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)M，根據(jù)題意可知此時(shí)∠EDC=∠ACO，過(guò)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，則可知EG=OM=8，進(jìn)一步可求得a．

解答：解：（1）∵DB⊥x軸于點(diǎn)B，∴∠ABD=90°
由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，∠ABC=∠DBC=

1

2

∠ABD=45°，
又∵∠COB=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴OB=OC，
∵D（6，8），
∴B（6，0），
∴OB=OC=6，∴C（0，6），
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意

b=6 6k+b=0

，解得

k=-1 b=6

，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+6；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，E點(diǎn)在線(xiàn)段BC上，如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，

此時(shí)OH=a，BH=HE=OB-OH=6-a，
又AB=BD=8，OC=6，
∴S=S_{四邊形AOEC}=S_△ABC-S_△BOE=

1

2

AB•OC-

1

2

OB•EH=

1

2

×8×6-

1

2

×6×（6-a）=3a+6；
當(dāng)a＜0時(shí)，E點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，

此時(shí)OF=-a，F(xiàn)A=OF-OA=-a-2，EF=FB=OB+OF=6-a，
又OC=6，
∴S=S_{四邊形AOCE}=S_梯形OCEF-S_△AEF=

1

2

（OC+EF）•OF-

1

2

AF•EF=

1

2

（6+6-a）（-a）-

1

2

（6-a）（-a-2）=-4a+6；
又∵E在射線(xiàn)BC上，
∴a＜6，
綜上可知S與a的函數(shù)關(guān)系式為：S=

3a+6(a＞0) -4a+6(a＜0)

；
（3）如圖3，過(guò)D作DE⊥y軸，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)M，
則MD=OB=OC=6，MC=OA=2，
在△MCD和△OAC中，

MD=OC CD=AC MC=AO

，
∴△MCD≌△OAC（SSS），
∴∠EDC=∠ACO，
過(guò)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，則可知EG=OM=GB=8，
∵OB=6，
∴OG=2，
∴a=-2，
即當(dāng)a=-2時(shí)，∠EDC=∠ACO．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和全等三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．求出點(diǎn)的坐標(biāo)是利用待定系數(shù)法的關(guān)鍵，在（2）中注意分a＞0和a＜0兩種情況利用分割法求出四邊形的面積，在（3）中確定出滿(mǎn)足條件的E點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題難度適中，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．