Question

18．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線AC=12，∠ACO=30°，過(guò)點(diǎn)G（0，-6）作GF⊥AC，垂足為F，直線GF分別交AB、OC于點(diǎn)E、D，
（1）直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；B（6$\sqrt{3}$，6）；C（6$\sqrt{3}$，0）；
（2）求直線DE的解析式；
（3）判斷三角形AOF形狀，并說(shuō)明理由；
（4）若點(diǎn)M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、F、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用30度角的性質(zhì)和勾股定理求得OA以及OC的長(zhǎng)度，則C、B的坐標(biāo)即可得到；
（2）根據(jù)三角函數(shù)求OD的長(zhǎng)，寫出D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線DE的解析式即可；
（3））△AOF是等邊三角形，理由是如圖1，根據(jù)中位線定理得：AE=2OD=4$\sqrt{3}$，利用30度的三角函數(shù)求AF=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，則AD=AF，所以△AOF是等邊三角形；
（4）分當(dāng)FM是菱形的邊和當(dāng)OF是對(duì)角線、當(dāng)OF為邊時(shí)，三種情況進(jìn)行討論．利用三角函數(shù)即可求得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AC=12，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×12$=6，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵四邊形OABC是矩形，
∴C（6$\sqrt{3}$，0），B（6$\sqrt{3}$，6）；
故答案為：（6$\sqrt{3}$，6），（6$\sqrt{3}$，0）；
（2）∵G（0，-6），
∴OG=6，
∵GF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠GOD=∠DFC=90°，
∵∠ODG=∠FDC，
∴∠OGD=∠ACO=30°，
tan30°=$\frac{OD}{OG}$，
OD=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴D（2$\sqrt{3}$，0），
設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，
把G（0，-6），D（2$\sqrt{3}$，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x+b=0}\\{b=-60}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為：y=$\sqrt{3}$x-6；
（3）△AOF是等邊三角形，理由是：
連接OF，如圖1，
Rt△AOC中，∠ACO=30°，
∴∠OAC=60°，
∵AO=OG，OD∥AE，
∴GD=DE，
∴OD是△AGE的中位線，
∴AE=2OD=4$\sqrt{3}$，
∵AB∥OC，
∴∠BAC=∠ACO=30°，
cos30°=$\frac{AF}{AE}$，
AF=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
∴AD=AF，
∴△AOF是等邊三角形；
（4）∵C的坐標(biāo)是（6$\sqrt{3}$，0），B的坐標(biāo)是（6$\sqrt{3}$，6）；
∴A（0，6），
∴設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6\sqrt{3}k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6．
∵直線DE的解析式為y=$\sqrt{3}$x-6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+6}\\{y=\sqrt{3}x-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}}\\{y=3}\end{array}\right.$．
F（3$\sqrt{3}$，3），
∴F是線段AC的中點(diǎn)，
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=6，
∵∠EDC=90°-30°=60°，
當(dāng)FM是菱形的邊時(shí)，如圖2，OP∥FM，
則∠POC=60°或120°．
當(dāng)∠POC=60°時(shí)，過(guò)P作PG⊥y軸，則PG=OP•sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3，
OG=OP•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3 $\sqrt{3}$，則P的坐標(biāo)是（3，3 $\sqrt{3}$）；
當(dāng)∠POC=120°時(shí)，與當(dāng)∠POC=60°時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則P的坐標(biāo)是（-3，-3 $\sqrt{3}$）；
當(dāng)OF是對(duì)角線時(shí)，如圖3，M、P關(guān)于OF對(duì)稱，連接MP交OF于H，
∵F的坐標(biāo)是（3 $\sqrt{3}$，3），
∴∠FOC=∠POF=30°，
在直角△OPH中，OH=$\frac{1}{2}$OF=3，OP=$\frac{OH}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2 $\sqrt{3}$．
作PL⊥y軸于點(diǎn)L，
在直角△OPL中，∠POL=30°，
則PL=$\frac{1}{2}$OP=$\sqrt{3}$，
OL=OP•cos30°=2 $\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
故P的坐標(biāo)是（ $\sqrt{3}$，3），
當(dāng)OF為邊時(shí)，M與G重合，如圖4，這個(gè)時(shí)候P在第四象限，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3 $\sqrt{3}$，-3）．
則P的坐標(biāo)是：（3 $\sqrt{3}$，-3）或（3，3 $\sqrt{3}$）或（-3，-3 $\sqrt{3}$）或（$\sqrt{3}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，本題對(duì)于P的位置的討論是解第四問(wèn)的關(guān)鍵．