Question

如圖①，已知拋物線y＝ax²＋bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)。
（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖②，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO＝∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對應(yīng)）。

Answer 1

解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（4，4）， ∴， 解得：， ∴拋物線的解析式是y＝x2-3x； （2）設(shè)直線OB的解析式為y＝k1x， 由點(diǎn)B（4，4），得：4＝4k1，解得k1＝1， ∴直線OB的解析式為y＝x， ∴直線OB向下平移m個(gè)單位長度后的解析式為：y＝x-m， ∵點(diǎn)D在拋物線y＝x2-3x上， ∴可設(shè)D（x，x2-3x）， 又點(diǎn)D在直線y＝x-m上， ∴x2-3x ＝x-m，即x2-4x＋m＝0， ∵拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴△＝16-4m＝0， 解得：m＝4， 此時(shí)x1＝x2＝2，y＝x2-3x＝-2， ∴ D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）；       （3）∵直線OB的解析式為y＝x，且A（3，0）， ∴ 點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（0，3）．設(shè)直線A'B的解析式為y＝k2x＋3，過點(diǎn)B（4，4）， ∴ 4k2＋3＝4，解得：k2＝， ∴直線A'B的解析式是y＝x＋3， ∵∠NBO＝∠ABO， ∴點(diǎn)N在直線A'B上， ∴設(shè)點(diǎn)N（n，n＋3）， 又點(diǎn)N在拋物線y＝x2-3x上， ∴n＋3＝n2-3n， 解得：n1＝-，n2＝4（不合題意，會去）， ∴ 點(diǎn)N的坐標(biāo)為， 如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N1OB1，則，B1（4，-4）， ∴O、D、B1都在直線y＝-x上， ∵△P1OD∽△NOB， ∴△P1OD∽△N1OB1， ∴， ∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為， 將△OP1D沿直線y＝-x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)， 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是或。