Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝4，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為半圓上任意一點，過P點作PE⊥OC于點E，設△OPE的內(nèi)心為M，連接OM、PM．當點P在半圓上從點B運動到點A時，內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可求得∠PMO=135°，再由全等三角形的判定和性質(zhì)可得∠CMO＝135°，過C、M、O三點作⊙O′，連O′C，O′O，在優(yōu)弧CO取點D，連DC，DO，在等腰直接三角形中求得O′O，從而求得弧OMC，同理可求得弧ONC，從而求得點M所經(jīng)過的路徑.

解：∵△OPE的內(nèi)心為M，

∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，

∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣（∠EOP+∠OPE），

∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，

∴∠PMO＝180°﹣×（∠EOP+∠OPE）＝180°﹣×（180°﹣90°）＝135°，

如圖，連接OC，

∵OP＝OC，OM＝OM，

而∠MOP＝∠MOC，

∴△OPM≌△OCM（SAS），

∴∠CMO＝∠PMO＝135°，

所以點M在以OC為弦，并且所對的圓周角為135°的兩段劣弧上（弧OMC和弧ONC）；

點M在扇形BOC內(nèi)時，

過C、M、O三點作⊙O′，連O′C，O′O，

在優(yōu)弧CO取點D，連DC，DO，

∵∠CMO＝135°，

∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，

∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，

∴O′O＝OC＝×2＝，

∴弧OMC的長＝cm，

同理：點M在扇形AOC內(nèi)時，同①的方法得，弧ONC的長為cm，

所以內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長為2×＝πcm．

故答案為：πcm．