Question

6．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，BC=$\sqrt{3}$CD．
（1）求∠DCB的大��；
（2）如圖2，點F是邊BC上一點，將△ABF沿AF所在直線翻折，點B的對應點是點H，直線HF⊥AB，垂足為G，如果AB=2，求BF的長；
（3）如圖3，點E是△ACD內(nèi)一點，且∠AEC=150°，聯(lián)結DE，請判斷線段DE、AE、CE能否構成直角三角形？如果能，請證明；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）只要證明AB=2AC，即可得到∠B=30°，再根據(jù)DC=DB即可解決問題．
（2）首先證明△ABH是等邊三角形，設GF=x，得到BF=2GF=2x，在RT△BFG中利用勾股定理即可解決問題．
（3）線段DE、AE、CE能構成直角三角形，如圖3中，作∠ECP=60°，截取CP=CE，連接AP、PE，ED，只要證明△DCE≌△ACP即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，
∴AB=2CD，
設CD=x，則AB=2x，BC=$\sqrt{3}$x，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}-（\sqrt{3}x）^{2}}$=x，
∴AC=DC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠B=30°，
又CD=BD，
∴∠DCB=∠B=30°．

（2）如圖2中，連接BH．

△AHF與△ABF關于直線AF對稱，又點B的對應點是點H，
∴AH=AB，HF=BF，
∵HF⊥AB，∠ABC=30°，
∴∠BFG=60°，
∴∠FBH=∠FHB=30°；
∴∠ABH=60°，
∴△ABH是等邊三角形，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=1，
設GF=x，∴BF=2GF=2x，
∴x²+1²=（2x）²，
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

（3）線段DE、AE、CE能構成直角三角形．
如圖3中，作∠ECP=60°，截取CP=CE，連接AP、PE，ED． 

∵PC=CE，∠PCE=60°，
∴△PCE是等邊三角形，
∴PE=CE，∠PEC=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又CD=AD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，AC=CD；
∴∠ACD-∠ACE=∠PCE-∠ACE，
即∠DCE=∠ACP，
在△DCE和△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACP=∠ECD}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△ACP，
∴DE=AP，
又∠AEC=150°，
∴∠AEP=150°-60°=90°，
∴線段DE、AE、CE能構成直角三角形．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質和判定、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加輔助線，構造全等三角形，屬于中考�？碱}型．