Question

1．如圖①，已知AC是矩形紙片ABCD的對角線，AB=3，BC=4．現(xiàn)將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到圖②中△A′BC′，當四邊形A′ECF是菱形時，平移距離AA′的長是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質求得AC=5，由平移的性質得出A′B=DC=3，設AA′=x，則A′D=4-x，由菱形的性質得出A′E∥FC，A′E=EC，由平行線的性質得出△AA′E∽△ADC，由相似的性質得出$\frac{x}{4}$=$\frac{A′E}{3}$=$\frac{AE}{5}$，求出AE=$\frac{5}{4}$x，A′E=$\frac{3}{4}$x，EC=AC-AE=5-$\frac{5}{4}$x，得出$\frac{3}{4}$x=5-$\frac{5}{4}$x，求出x即可得出結果．

解答 解：∵矩形紙片ABCD，AB=3，BC=4，
∴在圖②中，AD=4，A′B=DC=3，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
設AA′=x，
∴A′D=4-x，
∵四邊形A′ECF是菱形
∴A′E∥FC，A′E=EC，
∴△AA′E∽△ADC，
$\frac{AA′}{AD}$=$\frac{A′E}{DC}$=$\frac{AE}{AC}$，
即：$\frac{x}{4}$=$\frac{A′E}{3}$=$\frac{AE}{5}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$x，A′E=$\frac{3}{4}$x，
∴EC=AC-AE=5-$\frac{5}{4}$x，
∴$\frac{3}{4}$x=5-$\frac{5}{4}$x，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了矩形的性質、勾股定理、平移的性質、菱形的性質、三角形相似的判定與性質等知識；熟練掌握三角形相似的判定與性質是解決問題的關鍵．