Question

16．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=∠90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連接AE，DE，DC．
（1）求證：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠EDC的度數．

Answer 1

分析 （1）利用SAS證明三角形全等即可得證；
（2）由全等三角形對應角相等得到∠BCD=∠BAE，利用等腰直角三角形的性質求出∠BDE的度數，即可確定出∠EDC的度數．

解答 證明：（1）
∵∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，
∴∠ABE=∠CBD=90°．
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBD；
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠CAB=45°，
又∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=15°．
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°，
∴∠BDC=90°-15°=75°，
又∵BE=BD，∠DBE=90°，
∴∠BDE=45°，
∴∠EDC=75°-45°=30°．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．