Question

2．如圖，已知點(diǎn)P為∠AOB的角平分線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊OA上．愛(ài)動(dòng)腦筋的小剛經(jīng)過(guò)仔細(xì)觀察后，進(jìn)行如下操作：在邊OB上取一點(diǎn)E，使得PE=PD，這時(shí)他發(fā)現(xiàn)∠OEP與∠ODP之間有一定的相等關(guān)系，請(qǐng)你寫(xiě)出∠OEP與∠ODP所有可能的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 結(jié)論：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180?以O(shè)為圓心，以O(shè)D為半徑作弧，交OB于E₂，連接PE₂，由△E₂OP≌△DOP（SAS），推出E₂P=PD，即此時(shí)點(diǎn)E₂符合條件，此時(shí)∠OE₂P=∠ODP；以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OB于另一點(diǎn)E₁，連接PE₁，則此點(diǎn)E₁也符合條件PD=PE₁，由PE₂=PE₁=PD，
推出∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，由∠OE₁P+∠E₂E₁P=180°，∠OE₂P=∠ODP，推出∠OE₁P+∠ODP=180°，

解答 解：結(jié)論：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
理由是：以O(shè)為圓心，以O(shè)D為半徑作弧，交OB于E₂，連接PE₂，

∵在△E₂OP和△DOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{O{E}_{2}=OD}\\{∠{E}_{2}OP=∠DOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△E₂OP≌△DOP（SAS），
∴E₂P=PD，
即此時(shí)點(diǎn)E₂符合條件，此時(shí)∠OE₂P=∠ODP；
以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OB于另一點(diǎn)E₁，連接PE₁，
則此點(diǎn)E₁也符合條件PD=PE₁，
∵PE₂=PE₁=PD，
∴∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，
∵∠OE₁P+∠E₂E₁P=180°，
∵∠OE₂P=∠ODP，
∴∠OE₁P+∠ODP=180°，
∴∠OEP與∠ODP所有可能的數(shù)量關(guān)系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．