Question

2．菱形ABCD，∠ABC=120°，點(diǎn)P在線段BD上，點(diǎn)E在線段AD延長線上，不與點(diǎn)A重合，連接PC，PE，且PC=PE
（1）求證：BP+AB=AE；
（2）若BP=$\frac{1}{2}$BD=4，則AE=12．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，AD∥BC，∠ABP=∠CBP=60°，∠BCD=60°，由SAS證明△ABP≌△CBP，得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，同理：△ADP≌△CDP，得出∠DAP=∠DCP，證出三角形EPC是等邊三角形，得出∠PCE=60°，因此∠BCP=∠DCE，得出∠BAP=∠DCE，由ASA證明△ABP≌△CDE，得出BP=DE，即可得出結(jié)論；
（2）證明△ABD是等邊三角形，得出AD=BD=8，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，∠ABP=∠CBP=60°，∠BCD=60°，
∴∠EDC=∠BCD=60°，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABP=∠CBP}&{\;}\\{PB=PB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
同理：△ADP≌△CDP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PC=PE，
∴PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD（對(duì)頂角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴△EPC是等邊三角形，
∴∠PCE=60°，
∴∠BCP=∠DCE，
∴∠BAP=∠DCE，
在△ABP和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠DCE}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABP=∠CDE=60°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDE（ASA），
∴BP=DE，
∴AD=BD=8，
∴BP+AB=DE+AD=AE．
（2）解：∵BP=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴BD=8，
由（1）得：AB=AD，∠ABD=60°，DE=BP=4，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD=8，
∴AE=AD+DE=8+4=12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．