Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（2，﹣2）．對(duì)于給定的線(xiàn)段AB及點(diǎn)P，Q，給出如下定義：若點(diǎn)Q關(guān)于AB所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′落在△ABP的內(nèi)部（不含邊界），則稱(chēng)點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于線(xiàn)段AB的內(nèi)稱(chēng)點(diǎn)．

（1）已知點(diǎn)P（4，﹣1）．

①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）兩點(diǎn)中，是點(diǎn)P關(guān)于線(xiàn)段AB的內(nèi)稱(chēng)點(diǎn)的是　 　；

②若點(diǎn)M在直線(xiàn)y＝x﹣1上，且點(diǎn)M是點(diǎn)P關(guān)于線(xiàn)段AB的內(nèi)稱(chēng)點(diǎn)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍；

（2）已知點(diǎn)C（3，3），⊙C的半徑為r，點(diǎn)D（4，0），若點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于線(xiàn)段AB的內(nèi)稱(chēng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足直線(xiàn)DE與⊙C相切，求半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①Q1；②0＜xM＜2，（2）＜r≤．

【解析】

（1）①利用內(nèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的意義即可得出結(jié)論；

②先判斷出點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'在直線(xiàn)y＝x﹣1上，即可判斷出結(jié)論；

（2）判斷出DE與圓C相切時(shí)，圓C最大的半徑和最小的位置，計(jì)算即可得出結(jié)論．

解：（1）①

作出圖形，由內(nèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的意義得，點(diǎn)P關(guān)于線(xiàn)段AB的內(nèi)稱(chēng)點(diǎn)的是Q1，

故答案為Q1；

②如圖2，

點(diǎn)P（4，﹣1）關(guān)于AB所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'（0，﹣1），此時(shí)，點(diǎn)P'恰好在直線(xiàn)y＝x﹣1上，

∵點(diǎn)M是點(diǎn)P關(guān)于線(xiàn)段AB的內(nèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

∴點(diǎn)M關(guān)于AB所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'落在△ABP內(nèi)部（不含邊界），

∵點(diǎn)M在直線(xiàn)y＝x﹣1上，

∴點(diǎn)M應(yīng)在線(xiàn)段P'G上（點(diǎn)G為線(xiàn)段AB與直線(xiàn)y＝x﹣1的交點(diǎn)），且不與兩個(gè)端點(diǎn)P'，G重合，

∴0＜xM＜2，

（2）如圖3，

∵點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于線(xiàn)段AB的內(nèi)稱(chēng)點(diǎn)，

∴點(diǎn)E關(guān)于AB所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'應(yīng)在△ABD內(nèi)部（不含邊界），

∵點(diǎn)D關(guān)于AB所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為原點(diǎn)O，

∴點(diǎn)E應(yīng)在△ABO的內(nèi)部（不含邊界），

∵A（2，2），C（3，3），D（4，0），

∴AC＝，AD＝2，CD＝，

∴AC2+AD2＝CD2，

∴∠CAD＝90°，

∴AC⊥AD，

此時(shí)，直線(xiàn)DA與以AC為半徑的⊙C相切，半徑AC＝，

當(dāng)直線(xiàn)DE與以CD為半徑的⊙C相切，點(diǎn)D為切點(diǎn)，⊙C的半徑最大，最大值為，

∴符合題意的⊙C的半徑r的取值范圍是＜r≤．