Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r(r＞1)，點(diǎn)P是圓內(nèi)與圓心C不重合的點(diǎn)，⊙C的“完美點(diǎn)”的定義如下：過圓心C的任意直線CP與⊙C交于點(diǎn)A，B，若滿足|PA﹣PB|＝2，則稱點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”，如圖點(diǎn)P為⊙C的一個(gè)“完美點(diǎn)”．

(1)當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)

①點(diǎn)M(，0)　 　⊙O的“完美點(diǎn)”，點(diǎn)(﹣，﹣)　 　⊙O的“完美點(diǎn)”；(填“是”或者“不是”)

②若⊙O的“完美點(diǎn)”P在直線y＝x上，求PO的長(zhǎng)及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(s，t)，且在直線y＝﹣2x+1上，⊙C半徑為r，若y軸上存在⊙C的“完美點(diǎn)”，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)①不是，是；②PO的長(zhǎng)為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(﹣，﹣)；(2)t的取值范圍為﹣1≤t≤3．

【解析】

（1）①利用圓的“完美點(diǎn)”的定義直接判斷即可得出結(jié)論.②先確定出滿足圓的“完美點(diǎn)”的OP的長(zhǎng)度，然后分情況討論計(jì)算即可得出結(jié)論；（2）先判斷出圓的“完美點(diǎn)”的軌跡，然后確定出取極值時(shí)OC與y軸的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.

解：(1)①∵點(diǎn)M(，0)，

∴設(shè)⊙O與x軸的交點(diǎn)為A，B，

∵⊙O的半徑為2，

∴取A(﹣2，0)，B(2，0)，

∴|MA﹣MB|＝|(+2)﹣(2﹣)|＝3≠2，

∴點(diǎn)M不是⊙O的“完美點(diǎn)”，

同理：點(diǎn)(﹣，﹣)是⊙O的“完美點(diǎn)”．

故答案為不是，是．

②如圖1，

根據(jù)題意，|PA﹣PB|＝2，

∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，

∴OP＝1．

若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，

∵點(diǎn)P在直線y＝x上，OP＝1，

∴ ．

∴P( )．

若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱性可知其坐標(biāo)為(﹣，﹣)．

綜上所述，PO的長(zhǎng)為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()或（ ）)．

(2)對(duì)于⊙C的任意一個(gè)“完美點(diǎn)”P都有|PA﹣PB|＝2，

∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．

∴CP＝1．

∴對(duì)于任意的點(diǎn)P，滿足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，

∴|PA﹣PB|＝2，故此時(shí)點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”．

因此，⊙C的“完美點(diǎn)”是以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓．

設(shè)直線y＝﹣2x+1與y軸交于點(diǎn)D，如圖2，

當(dāng)⊙C移動(dòng)到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的上方時(shí)，t的值最大．

設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，

∵⊙C的圓心在直線y＝﹣2x+1上，

∴此直線和y軸，x軸的交點(diǎn)D(0，1)，F(，0)，

∴OF＝，OD＝1，

∵CE∥OF，

∴△DOF∽△DEC，

∴ ，

∴ ，

∴DE＝2，

∴OE＝3，

t的最大值為3，

當(dāng)⊙C移動(dòng)到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的下方時(shí)，t的值最�。�

同理可得t的最小值為﹣1．

綜上所述，t的取值范圍為﹣1≤t≤3．