Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線，DE⊥AB于點D，交AC于點E．
求證：∠AED=∠DCB．

Answer 1

分析 首先根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD=$\frac{1}{2}$AB=DB，由等邊對等角得到∠B=∠DCB．再根據直角三角形兩銳角互余得出∠A+∠AED=90°，∠A+∠B=90°，那么根據同角的余角相等得出∠B=∠AED，等量代換即可得出∠AED=∠DCB．

解答 證明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=DB，
∴∠B=∠DCB．
∵DE⊥AB于點D，
∴∠A+∠AED=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠AED，
∴∠AED=∠DCB．

點評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．也考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，余角的性質．