Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖②，點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，在線段BC上是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】y=x2﹣x+3；在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小，四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值為9；點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解；

（2）A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BC，則BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC=BC，四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小值為：OC+OA+BC；根據(jù)勾股定理求得BC，即可求得；（3）分兩種情況分別討論，即可求得

試題解析：（1）由已知得解得． 所以，拋物線的解析式為y=x2﹣x+3．

（2）∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，如圖1，連接BC， ∴BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC=BC，

∴四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小值為：OC+OA+BC， ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA=1，OC=3，BC==5， ∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小，四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值為9．

（3）∵B（4，0）、C（0，3）， ∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

①當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，如圖2，設(shè)M（a，b）， ∵∠CMQ＞90°， ∴只能CM=MQ=b，

∵MQ∥y軸， ∴△MQB∽△COB，

∴=，即=，解得b=，代入y=﹣x+3得，=﹣a+3，解得a=， ∴M（，）；

②當(dāng)∠QMB=90°時(shí)，如圖3， ∵∠CMQ=90°， ∴只能CM=MQ， 設(shè)CM=MQ=m， ∴BM=5﹣m，

∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC， ∴△BMQ∽△BOC， ∴=，解得m=，

作MN∥OB， ∴==，即==， ∴MN=，CN=， ∴ON=OC﹣CN=3﹣=， ∴M（，），

綜上，在線段BC上存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）．